अध्याय 14: वृत्त की स्पर्श रेखाएँ – Junior School Online

📐 Mathematics – Class 8 – Chapter 14

⭕ वृत्त की स्पर्श रेखाएँ (Tangents to a Circle)

जानें कि वृत्त की छेदक रेखा (Secant) और स्पर्श रेखा (Tangent) क्या हैं, स्पर्श बिन्दु (Point of Contact), स्पर्श रेखा और त्रिज्या का संबंध, तथा वृत्त पर दिए गए बिन्दु से स्पर्श रेखा की रचना (Construction)।

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📋 Chapter Overview – एक नज़र में

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स्पर्श रेखा ⊥ त्रिज्या

📖 अध्याय सामग्री (Chapter Content)

1 📖 वृत्त की रेखाएँ – परिचय

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एक ही तल में वृत्त और रेखा की तीन स्थितियाँ:

📏 स्थिति 1 – छेदक रेखा

रेखा वृत्त को दो भिन्न बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करती है।

⭕ स्थिति 2 – कोई प्रतिच्छेद नहीं

रेखा वृत्त को किसी भी बिन्दु पर नहीं काटती है।

📐 स्थिति 3 – स्पर्श रेखा

रेखा वृत्त को केवल एक बिन्दु पर प्रतिच्छेद करती है।

📖 वृत्त और रेखा: छेदक (Secant) – 2 बिन्दु; स्पर्श (Tangent) – 1 बिन्दु; कोई प्रतिच्छेद नहीं – 0 बिन्दु।

वृत्त और रेखा – तीन स्थितियाँ

चित्र 14.1: वृत्त और रेखा – छेदक, स्पर्श, कोई प्रतिच्छेद नहीं

2 📏 छेदक रेखा (Secant)

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छेदक रेखा – वह रेखा जो वृत्त को दो भिन्न बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करती है।

उदाहरण: एक सीधी रेखा जो वृत्त को दो अलग-अलग बिन्दुओं पर काटती है।
जीवा (Chord): छेदक रेखा का वृत्त के भीतर वाला भाग – जीवा कहलाता है।
जीवा और छेदक में अन्तर: जीवा एक रेखाखण्ड है, छेदक एक रेखा है (असीमित)।

📏 छेदक रेखा: रेखा जो वृत्त को दो बिन्दुओं पर काटती है – उसका वृत्त के भीतर वाला भाग जीवा है।

छेदक रेखा – AB और जीवा

चित्र 14.2: छेदक रेखा AB – वृत्त को A और B पर काटती है

3 📐 स्पर्श रेखा (Tangent)

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स्पर्श रेखा – वह रेखा जो वृत्त को केवल एक ही बिन्दु पर प्रतिच्छेद करती है।

परिभाषा: किसी वृत्त की स्पर्श रेखा वह रेखा है जो उस वृत्त को केवल एक ही बिन्दु पर प्रतिच्छेद करती है।
उदाहरण: एक रेखा जो वृत्त को बिल्कुल एक बिन्दु पर छूती है (स्पर्श करती है)।
स्पर्श रेखा और जीवा में अन्तर: स्पर्श रेखा केवल एक बिन्दु पर मिलती है, जीवा दो बिन्दुओं पर।

📐 स्पर्श रेखा: वह रेखा जो वृत्त को केवल एक बिन्दु पर स्पर्श करती है।

स्पर्श रेखा – P पर स्पर्श

चित्र 14.3: स्पर्श रेखा l, स्पर्श बिन्दु P

4 🎯 स्पर्श बिन्दु (Point of Contact)

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स्पर्श बिन्दु – वह बिन्दु जहाँ स्पर्श रेखा वृत्त को स्पर्श करती है।

परिभाषा: किसी वृत्त की स्पर्श रेखा उस वृत्त के जिस बिन्दु से हो कर जाती है, उसे स्पर्श बिन्दु कहते हैं।
विशेषता: स्पर्श बिन्दु, वृत्त और स्पर्श रेखा में उभयनिष्ठ होता है।
स्पर्श बिन्दु पर: वृत्त की त्रिज्या स्पर्श रेखा पर लम्ब होती है।

🎯 स्पर्श बिन्दु: वह बिन्दु जहाँ स्पर्श रेखा वृत्त को स्पर्श करती है – P द्वारा निरूपित।

स्पर्श बिन्दु P

चित्र 14.4: स्पर्श बिन्दु P – OP ⊥ स्पर्श रेखा

5 🔑 स्पर्श रेखा और त्रिज्या परस्पर लम्ब

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स्पर्श रेखा ⊥ स्पर्श बिन्दु से खींची गई त्रिज्या (अर्थात् OP ⊥ स्पर्श रेखा)

प्रमेय: किसी वृत्त में किसी बिन्दु पर स्पर्श रेखा और स्पर्श बिन्दु से हो कर जाती हुई त्रिज्या परस्पर लम्ब होती हैं।

उदाहरण: पाश्वव आकृति में TPT केन्द्र O वाले वृत्त पर स्पर्श रेखा है तथा PQ, P से होकर जाने वाला व्यास है। PR वृत्त की एक जीवा है तथा QR को मिलाया गया है। यदि ∠RPT = 40° हो, तो ∠PQR की माप क्या है?

PT स्पर्श रेखा है और OP त्रिज्या है → ∠OPT = 90°

∠QPR + ∠RPT = 90° → ∠QPR = 90° – 40° = 50°

∠PRQ = 90° (अर्धवृत्त का कोण)

∆PQR में: ∠PQR + 50° + 90° = 180° → ∠PQR = 40°

∠PQR = 40°

🔑 गुण: स्पर्श रेखा, स्पर्श बिन्दु पर त्रिज्या पर लम्ब होती है – OP ⊥ स्पर्श रेखा।

स्पर्श रेखा ⊥ त्रिज्या

चित्र 14.5: OP ⊥ स्पर्श रेखा – समकोण पर

6 📐 रचना – वृत्त पर दिए गए बिन्दु से स्पर्श रेखा

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दिया है: केन्द्र O वाला एक वृत्त और वृत्त पर स्थित एक बिन्दु P।

अभीष्ट: बिन्दु P से हो कर जाती हुई वृत्त की स्पर्श रेखा खींचना।

चरण 1

रेखाखण्ड OP खींचें

चरण 2

बिन्दु P से OP पर लम्ब खींचें

चरण 3

लम्ब को दोनों ओर बढ़ाएँ

चरण 4

प्राप्त रेखा – अभीष्ट स्पर्श रेखा

स्पर्श रेखा की रचना

चित्र 14.6: बिन्दु P पर स्पर्श रेखा – OP पर लम्ब

📐 रचना: P पर OP पर लम्ब खींचें – यही अभीष्ट स्पर्श रेखा है।

7 📝 अभ्यास – प्रश्न एवं हल (Exercises with Solutions)

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अभ्यास 14(a) – छेदक एवं स्पर्श रेखा

प्रश्न 1: पाश्व चित्र में O वृत्त का केन्द्र है, और कुछ रेखाखण्ड खींचे गये हैं। ज्ञात कीजिए वृत्त की: (i) दो छेदक रेखाएँ (ii) दो स्पर्श रेखाएँ (iii) एक व्यास (iv) एक स्पर्श बिन्दु और (v) एक जीवा

हल:

(i) छेदक रेखाएँ – AC और FC (वृत्त को दो बिन्दुओं पर काटती हैं)

(ii) स्पर्श रेखाएँ – HG और GF (वृत्त को एक बिन्दु पर स्पर्श करती हैं)

(iii) व्यास – BOA (O से होकर जाने वाली जीवा)

(iv) स्पर्श बिन्दु – A या H (जहाँ स्पर्श रेखा वृत्त को स्पर्श करती है)

(v) जीवा – HE या DE (वृत्त पर दो बिन्दुओं को मिलाने वाली रेखा)

(i) AC, FC (ii) HG, GF (iii) BOA (iv) A या H (v) HE, DE

प्रश्न 2: केन्द्र O और त्रिज्या r वाले वृत्त की स्पर्श रेखा l है जो वृत्त को P पर स्पर्श करती है। यदि रेखा l पर स्थित कोई अन्य बिन्दु Q है, तो निम्न कथनों में सत्य/असत्य छाँटिए: (i) OQ > r (ii) OQ = r (iii) OQ < r (iv) OP < r (v) OP = r (vi) OP > r

हल:

P – स्पर्श बिन्दु, OP = r (त्रिज्या) – सत्य

Q – स्पर्श रेखा पर कोई अन्य बिन्दु, OQ > r (क्योंकि OP ⊥ स्पर्श रेखा, OP सबसे छोटी दूरी है)

OP < r – असत्य (OP = r)

OP > r – असत्य (OP = r)

(i) सत्य, (ii) असत्य, (iii) असत्य, (iv) असत्य, (v) सत्य, (vi) असत्य

प्रश्न 3: जीवा और छेदक रेखा में क्या अन्तर है? चित्र बनाकर स्पष्ट कीजिए।

हल:

जीवा (Chord): वृत्त पर दो बिन्दुओं को मिलाने वाला रेखाखण्ड (सीमित)।

छेदक रेखा (Secant): वह रेखा जो वृत्त को दो बिन्दुओं पर काटती है (असीमित)।

छेदक रेखा का वृत्त के भीतर वाला भाग जीवा होता है।

जीवा – रेखाखण्ड, छेदक – रेखा (असीमित)।

अभ्यास 14(b) – स्पर्श रेखा और त्रिज्या

प्रश्न 1: यदि किसी वृत्त पर P एक स्पर्श बिन्दु है और OP त्रिज्या है, तो ∠OPT का मान क्या होगा?

हल:

स्पर्श रेखा, स्पर्श बिन्दु पर त्रिज्या पर लम्ब होती है।

∴ OP ⊥ स्पर्श रेखा → ∠OPT = 90°

∠OPT = 90°

अभ्यास 14(c) – सत्य/असत्य

प्रश्न 1: निम्न कथनों में सत्य/असत्य बताइए: (i) वृत्त की कोई स्पर्श रेखा तथा स्पर्श बिन्दु से खींची गयी त्रिज्या एक दूसरे पर लम्ब होते हैं। (ii) किसी वृत्त की छेदिका, उस वृत्त को दो से अधिक बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करती है। (iii) किसी वृत्त की स्पर्श रेखा, उस वृत्त को केवल दो बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करती है। (iv) वृत्त के केन्द्र से उसकी किसी जीवा पर खींचा गया लम्ब, उस जीवा को समद्विभाजित करता है।

हल:

(i) सत्य – स्पर्श रेखा ⊥ त्रिज्या

(ii) असत्य – छेदिका वृत्त को केवल दो बिन्दुओं पर काटती है

(iii) असत्य – स्पर्श रेखा वृत्त को केवल एक बिन्दु पर काटती है

(iv) सत्य – केन्द्र से जीवा पर लम्ब समद्विभाजित करता है

(i) सत्य, (ii) असत्य, (iii) असत्य, (iv) सत्य

📝 अभ्यास: सभी प्रश्नों के हल विस्तार से दिए गए हैं – गुणों को समझें और लागू करें।

8 📖 सारांश – हमने क्या सीखा

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छेदक रेखा (Secant): वह रेखा जो वृत्त को दो भिन्न बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करती है।
स्पर्श रेखा (Tangent): वह रेखा जो वृत्त को केवल एक ही बिन्दु पर प्रतिच्छेद करती है।
स्पर्श बिन्दु (Point of Contact): वह बिन्दु जहाँ स्पर्श रेखा वृत्त को स्पर्श करती है।
प्रमेय 1: वृत्त में किसी बिन्दु पर स्पर्श रेखा और स्पर्श बिन्दु से हो कर जाती हुई त्रिज्या परस्पर लम्ब होती हैं।
रचना: वृत्त पर दिए गए बिन्दु से स्पर्श रेखा – OP खींचें, P पर लम्ब खींचें।
जीवा और छेदक में अन्तर: जीवा – रेखाखण्ड (सीमित), छेदक – रेखा (असीमित)।
स्पर्श रेखा और त्रिज्या का संबंध: OP ⊥ स्पर्श रेखा (P पर)
अर्धवृत्त का कोण: 90° – स्पर्श रेखा से संबंधित समस्याओं में उपयोगी।

✅ मुख्य बिंदु

वृत्त की स्पर्श रेखा – वह रेखा जो वृत्त को केवल एक बिन्दु पर स्पर्श करती है। स्पर्श बिन्दु पर त्रिज्या, स्पर्श रेखा पर लम्ब होती है (OP ⊥ स्पर्श रेखा)। यह गुण रचनाओं और ज्यामितीय समस्याओं में अत्यंत उपयोगी है। छेदक रेखा वृत्त को दो बिन्दुओं पर काटती है, जबकि स्पर्श रेखा केवल एक बिन्दु पर।

🧠 माइंडमैप – वृत्त की स्पर्श रेखाएँ

📐 अध्याय 14 – संपूर्ण सारांश

📖 वृत्त और रेखा

छेदक (2 बिन्दु) स्पर्श (1 बिन्दु) कोई नहीं (0)

📏 छेदक रेखा

दो बिन्दुओं पर जीवा – भीतर भाग असीमित

📐 स्पर्श रेखा

एक बिन्दु पर स्पर्श बिन्दु P OP ⊥ स्पर्श

🔑 OP ⊥ स्पर्श रेखा

स्पर्श बिन्दु P त्रिज्या OP ∠OPT = 90°

📐 रचना

OP खींचें P पर लम्ब अभीष्ट स्पर्श

🔑 निष्कर्ष

स्पर्श – 1 बिन्दु त्रिज्या ⊥ स्पर्श रचना – सरल

📐 निष्कर्ष: वृत्त की स्पर्श रेखा – वह रेखा जो वृत्त को केवल एक बिन्दु पर स्पर्श करती है। स्पर्श बिन्दु पर त्रिज्या, स्पर्श रेखा पर लम्ब होती है (OP ⊥ स्पर्श रेखा, ∠OPT = 90°)। छेदक रेखा वृत्त को दो बिन्दुओं पर काटती है, जबकि स्पर्श रेखा केवल एक बिन्दु पर। वृत्त पर दिए गए बिन्दु से स्पर्श रेखा की रचना – OP खींचकर P पर लम्ब खींचें। ये गुण ज्यामितीय रचनाओं और समस्याओं को हल करने में अत्यंत सहायक हैं।

🧩 मिलान अभ्यास – अध्याय 14: वृत्त की स्पर्श रेखाएँ

✅ प्रत्येक row में 6 विकल्प दिखेंगे – सही चुनें और तुरंत परिणाम देखें।

🧠 Practice Quiz – अध्याय 14: वृत्त की स्पर्श रेखाएँ

🎯 आपकी प्रगति

स्कोर: 0/0

✅ एक बार उत्तर चुनने के बाद बदला नहीं जा सकता।

📝 इस इकाई में हमने सीखा

✔ छेदक रेखा – दो बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद

✔ स्पर्श रेखा – एक बिन्दु पर प्रतिच्छेद

✔ स्पर्श बिन्दु – P (Point of Contact)

✔ OP ⊥ स्पर्श रेखा – त्रिज्या लम्ब

✔ ∠OPT = 90° – समकोण

✔ जीवा – रेखाखण्ड (सीमित)

✔ छेदक – रेखा (असीमित)

✔ रचना – OP पर लम्ब

✔ अर्धवृत्त का कोण – 90°

✔ त्रिज्या और स्पर्श – परस्पर लम्ब

✔ स्पर्श रेखा – वृत्त को 1 बिन्दु पर

✔ छेदक रेखा – वृत्त को 2 बिन्दु पर