📊 सांख्यिकी (Statistics)
जानें कि आँकड़े (Data) क्या हैं, माध्यिका (Median), बहुलक (Mode), वर्गीकृत आँकड़ों की बारम्बारता सारणी (Frequency Distribution), तथा आयत चित्र (Histogram) का निरूपण।
📋 Chapter Overview – एक नज़र में
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📖 अध्याय सामग्री (Chapter Content)
आँकड़े (Data): संख्यात्मक रूप में एकत्र की गई सूचनाएँ। प्रत्येक संख्यात्मक तथ्य को प्रेक्षण (Observation) कहते हैं।
- आँकड़ों की आवश्यकता: सूचनाओं को समझने, निष्कर्ष निकालने और निर्णय लेने के लिए।
- केन्द्रीय प्रवृत्ति की मापें (Measures of Central Tendency):
- समान्तर माध्य (Mean) – सभी प्रेक्षणों का औसत
- माध्यिका (Median) – मध्य में स्थित मान
- बहुलक (Mode) – सर्वाधिक बार आने वाला मान
- आँकड़ों का चित्रीय निरूपण: दण्डारेख (Bar Graph), वृत्तारेख (Pie Chart), आयत चित्र (Histogram)
📖 सांख्यिकी: आँकड़ों का संग्रह, व्यवस्थापन, विश्लेषण और निष्कर्ष निकालना।
माध्यिका (Median): दिए गए आँकड़ों को आरोही या अवरोही क्रम में व्यवस्थित करने पर मध्य में पड़ने वाले पद का मान माध्यिका कहलाता है।
उदाहरण 1 (विषम): 48, 54, 42, 56, 51 का माध्यिका ज्ञात कीजिए।
आरोही क्रम: 42, 48, 51, 54, 56
n = 5 (विषम) → \(\frac{5+1}{2} = 3\) वाँ पद = 51
माध्यिका = 51
उदाहरण 2 (सम): 10, 12, 15, 18, 20, 25 का माध्यिका ज्ञात कीजिए।
n = 6 (सम) → \(\frac{6}{2} = 3\) वाँ पद = 15, \(\frac{6}{2}+1 = 4\) वाँ पद = 18
माध्यिका = \(\frac{15+18}{2} = \frac{33}{2} = 16.5\)
माध्यिका = 16.5
उदाहरण 3 (सारणी): 40 शिक्षार्थियों के जूतों की नाप – 4(6), 5(5), 6(8), 7(15), 8(6)
आरोही क्रम: 4,4,4,4,4,4 (6 बार), 5,5,5,5,5 (5 बार), 6... (8 बार), 7... (15 बार), 8... (6 बार)
n = 40 (सम) → 20वाँ और 21वाँ पद
6 तक कुल = 6+5+8 = 19, 20वाँ और 21वाँ दोनों 7
माध्यिका = 7
📏 माध्यिका: आँकड़ों को क्रमबद्ध करें – विषम n → मध्य पद, सम n → दो मध्य पदों का औसत।
बहुलक (Mode): दिए गए आँकड़ों के समूह में सबसे अधिक बार आने वाले पद को बहुलक कहते हैं।
- बहुलक की आवश्यकता: व्यापार और उद्योग में – किसी वस्तु की सबसे अधिक माँग वाली नाप/आकार ज्ञात करना।
- जैसे – जूतों की सबसे अधिक बिकने वाली नाप, बनियानों का सबसे अधिक बिकने वाला साइज़।
उदाहरण 1: 10 विद्यार्थियों के अंक: 9, 10, 12, 10, 13, 12, 10, 12, 10, 9
आरोही क्रम: 9, 9, 10, 10, 10, 10, 12, 12, 12, 13
10 चार बार, 12 तीन बार, 9 दो बार, 13 एक बार
बहुलक = 10 (सर्वाधिक बारम्बारता 4)
उदाहरण 2: आयु (वर्षों में): 13, 14, 13, 15, 12, 13, 15, 16, 13, 13
आरोही: 12, 13, 13, 13, 13, 13, 14, 15, 15, 16
13 पाँच बार, 15 दो बार, 14, 12, 16 एक-एक बार
बहुलक = 13
📊 बहुलक: सबसे अधिक बारम्बारता वाला पद – व्यावहारिक जीवन में अत्यंत उपयोगी।
वर्गीकृत आँकड़े (Grouped Data): जब आँकड़ों की संख्या बहुत अधिक हो, तो उन्हें वर्ग-अन्तरालों (Class Intervals) में विभाजित किया जाता है।
उदाहरण: निम्न आँकड़ों के लिए 5-5 के वर्ग अन्तराल पर बारम्बारता सारणी बनाएँ:
5, 11, 26, 24, 21, 10, 9, 8, 7, 11, 25, 21, 17, 14, 16, 11, 13, 17
| वर्ग | टैली | बारम्बारता |
|---|---|---|
| 5-10 | |||| | 4 |
| 10-15 | ||||| | 6 |
| 15-20 | |||||| | 8 |
| 20-25 | || | 2 |
| 25-30 | || | 2 |
कुल बारम्बारता = 22
📋 वर्गीकृत आँकड़े: वर्ग-अन्तराल बनाएँ, टैली चिह्न लगाएँ, बारम्बारता ज्ञात करें।
आयत चित्र (Histogram): वर्गीकृत आँकड़ों का चित्रीय निरूपण – जिसमें वर्ग-अन्तराल आधार (X-अक्ष) और बारम्बारता ऊँचाई (Y-अक्ष) होती है।
- आधार (Base): वर्ग-अन्तराल (Class Intervals)
- ऊँचाई (Height): बारम्बारता (Frequency)
- आयतें: सटी हुई (Contiguous) – कोई अन्तराल नहीं
📊 आयत चित्र: वर्गीकृत आँकड़ों का ग्राफ – आधार = वर्ग, ऊँचाई = बारम्बारता।
अभ्यास 15(a) – माध्यिका
प्रश्न 1: 23, 20, 22, 19, 17, 22, 14, 16, 15 का माध्यिका ज्ञात कीजिए।
हल:
आरोही क्रम: 14, 15, 16, 17, 19, 20, 22, 22, 23
n = 9 (विषम) → \(\frac{9+1}{2} = 5\) वाँ पद = 19
माध्यिका = 19
प्रश्न 2: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18 का माध्यिका ज्ञात कीजिए।
हल:
n = 9 (विषम) → \(\frac{9+1}{2} = 5\) वाँ पद = 10
माध्यिका = 10
प्रश्न 3: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 का माध्यिका ज्ञात कीजिए।
हल:
n = 10 (सम) → 5वाँ पद = 5, 6वाँ पद = 6
माध्यिका = \(\frac{5+6}{2} = 5.5\)
माध्यिका = 5.5
अभ्यास 15(b) – बहुलक
प्रश्न 1: 1, 3, 5, 5, 5, 4, 6 का बहुलक ज्ञात कीजिए।
हल:
5 तीन बार आता है – सर्वाधिक
बहुलक = 5
प्रश्न 2: 2, 4, 6, 3, 4, 3, 4, 4, 7, 2 का बहुलक ज्ञात कीजिए।
हल:
4 चार बार आता है – सर्वाधिक
बहुलक = 4
प्रश्न 3: 5, 7, 9, 8, 7, 9, 7, 7, 3, 5, 2 का बहुलक ज्ञात कीजिए।
हल:
7 चार बार आता है – सर्वाधिक
बहुलक = 7
अभ्यास 15(c) – वर्गीकृत आँकड़े
प्रश्न 1: निम्न संख्याओं के 5-5 के वर्ग विस्तार पर वर्ग बनाएँ: 5, 11, 26, 24, 21, 10, 9, 8, 7, 11, 25, 21, 17, 14, 16, 11, 13, 17
हल:
| वर्ग | टैली | बारम्बारता |
|---|---|---|
| 5-10 | |||| | 4 |
| 10-15 | ||||| | 6 |
| 15-20 | |||||| | 8 |
| 20-25 | || | 2 |
| 25-30 | || | 2 |
कुल बारम्बारता = 22
📝 अभ्यास: सभी प्रश्नों के हल विस्तार से दिए गए हैं – अवधारणाओं को समझें और अभ्यास करें।
- आँकड़े (Data): संख्यात्मक सूचनाएँ – प्रत्येक प्रेक्षण (Observation)
- केन्द्रीय प्रवृत्ति की मापें: माध्य, माध्यिका, बहुलक
- माध्यिका (Median): क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान
- विषम n → (n+1)/2 वाँ पद
- सम n → n/2 वें और (n/2+1) वें पदों का औसत
- बहुलक (Mode): सर्वाधिक बारम्बारता वाला मान
- वर्गीकृत आँकड़े: वर्ग-अन्तराल, निम्न/उच्च सीमा, वर्ग विस्तार, बारम्बारता
- आयत चित्र (Histogram): वर्गीकृत आँकड़ों का ग्राफ – आधार = वर्ग, ऊँचाई = बारम्बारता
- टैली चिह्न: बारम्बारता गिनने की विधि
- बहुलक का उपयोग: व्यापार, उद्योग – माँग के अनुसार उत्पादन
✅ मुख्य बिंदु
सांख्यिकी – आँकड़ों का संग्रह, व्यवस्थापन, विश्लेषण और निष्कर्ष। माध्यिका (Median) – क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान। बहुलक (Mode) – सर्वाधिक बारम्बारता वाला मान – व्यावहारिक जीवन में अत्यंत उपयोगी। वर्गीकृत आँकड़ों के लिए बारम्बारता सारणी और आयत चित्र (Histogram) – आँकड़ों को समझने और निर्णय लेने में सहायक।
🧠 माइंडमैप – सांख्यिकी
🧩 मिलान अभ्यास – अध्याय 15: सांख्यिकी
✅ प्रत्येक row में 6 विकल्प दिखेंगे – सही चुनें और तुरंत परिणाम देखें।
🧠 Practice Quiz – अध्याय 15: सांख्यिकी
✅ एक बार उत्तर चुनने के बाद बदला नहीं जा सकता।