अध्याय 16: संभावना – Junior School Online

📐 Mathematics – Class 8 – Chapter 16

🎲 संभावना (Probability)

जानें कि संभावना (Probability) क्या है, सिक्का उछालने और पाँसा फेंकने के प्रयोग, प्रतिदर्श समष्टि (Sample Space), घटनाएँ (Events), तथा संभावना का संख्यात्मक मापन।

🚀 Start Learning → 📝 Take Quiz

📋 Chapter Overview – एक नज़र में

इस अध्याय के सभी महत्वपूर्ण विषय – किसी भी कार्ड पर क्लिक करें और सीधे उस भाग पर पहुँचें।

📖 अध्याय सामग्री (Chapter Content)

1 📖 संभावना – परिचय (Introduction to Probability)

▼

संभावना (Probability): किसी घटना के घटित होने की संभावना (Chance) का संख्यात्मक मापन।

यादृच्छिक प्रयोग (Random Experiment): वह प्रयोग जिसके परिणाम अनिश्चित होते हैं – जैसे सिक्का उछालना, पाँसा फेंकना।
परिणाम (Outcome): प्रयोग का एक संभावित परिणाम – जैसे सिक्के पर शीर्ष (H) या पूँछ (T)।
घटना (Event): परिणामों का एक समुच्चय – जैसे सिक्के पर शीर्ष आना।
प्रतिदर्श समष्टि (Sample Space): सभी संभावित परिणामों का समुच्चय – S द्वारा निरूपित।

📖 संभावना: किसी घटना के घटित होने की संभावना – 0 और 1 के बीच का मान।

यादृच्छिक प्रयोग – अवधारणा

चित्र 16.1: यादृच्छिक प्रयोग, परिणाम और प्रतिदर्श समष्टि

2 🪙 सिक्का उछालना – शीर्ष और पूँछ

▼

एक सिक्के के लिए प्रतिदर्श समष्टि: S = {H, T} H = शीर्ष (Head), T = पूँछ (Tail)

सिक्का उछालना: एक सिक्का उछालने पर दो सम्भावित परिणाम – शीर्ष (चित) या पूँछ (पट)। दोनों की संभावना समान (सम संभावी)।

🪙

शीर्ष (H)

🪙

पूँछ (T)

उदाहरण: एक सिक्का 100 बार उछालने पर 48 बार शीर्ष और 52 बार पूँछ आई।

उछालों की संख्या बढ़ाने पर शीर्ष और पूँछ की संख्या लगभग बराबर होती जाती है।

∴ शीर्ष आने की संभावना = पूँछ आने की संभावना

🪙 सिक्का: दो परिणाम – H और T – सम संभावी।

3 🎲 पाँसा फेंकना – छह परिणाम

▼

एक पाँसे के लिए प्रतिदर्श समष्टि: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

पाँसा (Dice): एक समांगी पाँसे के छह फलक होते हैं, प्रत्येक पर 1 से 6 तक की संख्या अंकित होती है। फेंकने पर कोई एक फलक ऊपर आता है।

⚀

⚁

⚂

⚃

⚄

⚅

उदाहरण: एक पाँसे को 60 बार फेंकने पर 1, 2, 3, 4, 5, 6 में से प्रत्येक लगभग 10 बार आना चाहिए (सम संभावी)।

प्रत्येक फलक के आने की संभावना = 1/6

🎲 पाँसा: छह परिणाम – 1,2,3,4,5,6 – सम संभावी (1/6)।

4 🔄 दो और तीन सिक्कों का प्रयोग

▼

दो सिक्के: S = {HH, HT, TH, TT} तीन सिक्के: S = {HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT}

दो सिक्के: 4 परिणाम – HH, HT, TH, TT (HT और TH भिन्न हैं)।

तीन सिक्के: 8 परिणाम – सभी सम संभावी।

उदाहरण: दो सिक्के एक साथ उछालने पर HH, HT, TH, TT – प्रत्येक की संभावना 1/4।

तीन सिक्के – 8 परिणाम, प्रत्येक की संभावना 1/8।

HT और TH भिन्न परिणाम हैं।

🔄 दो सिक्के: 4 परिणाम; तीन सिक्के: 8 परिणाम – सभी सम संभावी।

दो सिक्कों के परिणाम

चित्र 16.2: दो सिक्कों के सभी संभावित परिणाम

5 🎲🎲 दो पाँसों का प्रयोग

▼

दो पाँसों के लिए कुल परिणाम = 6 × 6 = 36 S = {(1,1), (1,2), ..., (6,6)}

दो पाँसे: प्रत्येक पाँसे पर 6 संभावित परिणाम, अतः कुल 36 परिणाम।

प्रत्येक युग्म (i, j) की संभावना = 1/36

न्यूनतम योग: 1+1 = 2

अधिकतम योग: 6+6 = 12

समान अंक: (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6) → 6 घटनाएँ

विषम-विषम: 3×3 = 9 घटनाएँ

सम-सम: 3×3 = 9 घटनाएँ

सम-विषम: 3×3 + 3×3 = 18 घटनाएँ

🎲🎲 दो पाँसे: 36 परिणाम – योग 2 से 12 तक – सम संभावी (1/36)।

दो पाँसों का परिणाम – (1,1) से (6,6)

चित्र 16.3: दो पाँसों के 36 परिणाम

6 📊 संभावना का संख्यात्मक मापन

▼

P(घटना) = \(\frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल संभावित परिणामों की संख्या}}\)

निश्चित घटना (Certain Event): P = 1
असंभव घटना (Impossible Event): P = 0
0 ≤ P ≤ 1
सम संभावी (Equally Likely): सभी परिणामों की संभावना समान।

उदाहरण 1: एक सिक्के में शीर्ष (H) आने की संभावना:

अनुकूल = 1 (H), कुल = 2 (H, T) → P(H) = 1/2

P(H) = 1/2

उदाहरण 2: एक पाँसे पर 3 आने की संभावना:

अनुकूल = 1 (3), कुल = 6 → P(3) = 1/6

P(3) = 1/6

उदाहरण 3: दो सिक्कों में HH आने की संभावना:

अनुकूल = 1 (HH), कुल = 4 → P(HH) = 1/4

P(HH) = 1/4

उदाहरण 4 (व्यावहारिक): 50 सीटों के लिए 50,000 अभ्यर्थी – चयन की संभावना:

P(चयन) = 50/50000 = 1/1000

P(चयन) = 1/1000

📊 संभावना: P(घटना) = अनुकूल / कुल – 0 से 1 के बीच।

7 📝 अभ्यास – प्रश्न एवं हल (Exercises with Solutions)

▼

अभ्यास 16(a) – सिक्का और पाँसा

प्रश्न 1: एक सिक्का कई बार उछाल कर उसके शीर्ष (चित) तथा पूँछ (पट) आने की संख्या निम्नांकित सारणी में लिखी गयी है। रिक्त स्थान भरें:

उछालों की संख्या	चित	पट
20	12	8
30	17	13
40	22	18
50	28	22
60	32	28

हल:

प्रत्येक पंक्ति में चित + पट = कुल उछाल

20 – 12 = 8; 30 – 17 = 13; 40 – 22 = 18; 50 – 28 = 22; 60 – 32 = 28

सारणी पूर्ण – प्रत्येक पंक्ति का योग कुल उछाल के बराबर।

प्रश्न 2: एक पाँसे को कई बार फेंक कर उसके ऊपर आने वाली संख्याएँ सारणी में दी गई हैं। रिक्त स्थान भरें:

फेंकने की संख्या	1	2	3	4	5	6
15	2	3	4	1	3	2
30	4	3	5	6	6	6
45	7	8	6	9	5	10
60	8	9	10	11	12	10
90	13	15	16	14	17	15

हल:

प्रत्येक पंक्ति में सभी अंकों का योग = कुल फेंकने की संख्या

जाँच: 2+3+4+1+3+2=15; 4+3+5+6+6+6=30; 7+8+6+9+5+10=45; 8+9+10+11+12+10=60; 13+15+16+14+17+15=90

सभी मान सही हैं।

प्रश्न 3: एक समांगी पाँसे के 48 बार फेंकने पर प्रत्येक फलक के ऊपर आने की सम्भावनाओं को समान मान लेने पर ज्ञात कीजिए कि अंक 1, 2, 3, 4, 5, 6 में से प्रत्येक कितनी बार ऊपर आयेगा?

हल:

कुल फेंक = 48, प्रत्येक फलक की संभावना = 1/6

प्रत्येक अंक के आने की संख्या = 48 × 1/6 = 8

प्रत्येक अंक 8 बार आयेगा।

प्रश्न 4: एक समांगी पाँसे को 54 बार फेंकने पर यह पाया गया कि सम अंको के ऊपर आने की संख्या 25 है। तो ज्ञात कीजिए कि विषम अंको के ऊपर आने की कुल संख्या कितनी होगी?

हल:

कुल फेंक = 54, सम अंक = 25

विषम अंक = 54 – 25 = 29

विषम अंक 29 बार आएंगे।

अभ्यास (विविध) – प्रतिदर्श समष्टि और घटनाएँ

प्रश्न 5: दो पाँसे एक साथ फेंके जाते हैं और पाँसों पर ऊपर आने वाले अंकों का योगफल लिया जाता है। निम्नांकित घटनाओं को समुच्चय के रूप में लिखिए: (i) प्राप्त योग सम संख्या हो, (ii) प्राप्त योग 3 का अपवर्त्य हो, (iii) प्राप्त योग 4 से न्यून हो, (iv) प्राप्त योग 10 से अधिक हो।

हल:

(i) सम योग: (1,1), (1,3), (1,5), (2,2), (2,4), (2,6), (3,1), (3,3), (3,5), (4,2), (4,4), (4,6), (5,1), (5,3), (5,5), (6,2), (6,4), (6,6) – कुल 18

(ii) 3 का अपवर्त्य (योग 3,6,9,12): (1,2),(1,5),(2,1),(2,4),(3,3),(3,6),(4,2),(4,5),(5,1),(5,4),(6,3),(6,6) – कुल 12

(iii) 4 से न्यून (योग 2 या 3): (1,1),(1,2),(2,1) – कुल 3

(iv) 10 से अधिक (योग 11,12): (5,6),(6,5),(6,6) – कुल 3

समुच्चय के रूप में लिखे गए।

प्रश्न 6: तीन सिक्के एक साथ उछाले जाते हैं। निम्नांकित घटनाओं को समुच्चय के रूप में लिखिए: (i) कोई चित प्रकट नहीं होता, (ii) केवल एक चित आता है, (iii) कम से कम दो चित प्रकट होते हैं, (iv) तीनों चित आते हैं।

हल:

(i) कोई चित नहीं → सभी पूँछ: {TTT}

(ii) केवल एक चित → {HTT, THT, TTH}

(iii) कम से कम दो चित → {HHT, HTH, THH, HHH}

(iv) तीनों चित → {HHH}

समुच्चय के रूप में लिखे गए।

📝 अभ्यास: सभी प्रश्नों के हल विस्तार से दिए गए हैं – प्रतिदर्श समष्टि और घटनाओं को समझें।

8 📖 सारांश – हमने क्या सीखा

▼

संभावना (Probability): किसी घटना के घटित होने की संभावना – P = अनुकूल/कुल
यादृच्छिक प्रयोग: सिक्का उछालना, पाँसा फेंकना – परिणाम अनिश्चित
प्रतिदर्श समष्टि (Sample Space): सभी संभावित परिणामों का समुच्चय – S
एक सिक्का: S = {H, T}, P(H) = P(T) = 1/2
एक पाँसा: S = {1,2,3,4,5,6}, P(प्रत्येक) = 1/6
दो सिक्के: S = {HH, HT, TH, TT}, प्रत्येक = 1/4
तीन सिक्के: S = 8 परिणाम, प्रत्येक = 1/8
दो पाँसे: 36 परिणाम, प्रत्येक = 1/36
घटना (Event): परिणामों का समुच्चय
सम संभावी: सभी परिणामों की संभावना समान
निश्चित घटना: P = 1; असंभव घटना: P = 0
0 ≤ P ≤ 1

✅ मुख्य बिंदु

संभावना – अनिश्चितता का गणितीय मापन। सिक्का और पाँसा – संभावना के आधारभूत प्रयोग। प्रतिदर्श समष्टि और घटनाओं को समझना आवश्यक है। P(घटना) = अनुकूल परिणामों की संख्या / कुल परिणामों की संख्या – यह सूत्र सभी सम संभावी प्रयोगों में लागू होता है।

🧠 माइंडमैप – संभावना

📐 अध्याय 16 – संपूर्ण सारांश

📖 संभावना

P = अनुकूल/कुल 0 ≤ P ≤ 1 यादृच्छिक प्रयोग

🪙 सिक्का

1 सिक्का: {H,T} 2 सिक्के: 4 परिणाम 3 सिक्के: 8 परिणाम

🎲 पाँसा

1 पाँसा: {1..6} 2 पाँसे: 36 परिणाम प्रत्येक 1/6, 1/36

📊 प्रतिदर्श समष्टि

S – सभी परिणाम घटना – उपसमुच्चय सम संभावी

📝 उदाहरण

P(H) = 1/2 P(3) = 1/6 P(HH) = 1/4 P(सम योग) = 18/36

🔑 निष्कर्ष

संभावना – अनिश्चितता का माप सम संभावी प्रयोग व्यावहारिक उपयोग

📐 निष्कर्ष: संभावना (Probability) – किसी घटना के घटित होने की संभावना का संख्यात्मक मापन। यादृच्छिक प्रयोगों (सिक्का, पाँसा) में सम संभावी परिणाम होते हैं। P(घटना) = अनुकूल परिणामों की संख्या / कुल संभावित परिणामों की संख्या। प्रतिदर्श समष्टि (Sample Space) सभी संभावित परिणामों का समुच्चय है। संभावना का मान 0 और 1 के बीच होता है – 0 (असंभव) से 1 (निश्चित) तक।

🧩 मिलान अभ्यास – अध्याय 16: संभावना

✅ प्रत्येक row में 6 विकल्प दिखेंगे – सही चुनें और तुरंत परिणाम देखें।

🧠 Practice Quiz – अध्याय 16: संभावना

🎯 आपकी प्रगति

स्कोर: 0/0

✅ एक बार उत्तर चुनने के बाद बदला नहीं जा सकता।

📝 इस इकाई में हमने सीखा

✔ संभावना – P = अनुकूल/कुल

✔ प्रतिदर्श समष्टि – S

✔ घटना – परिणामों का समुच्चय

✔ एक सिक्का – S = {H,T}

✔ एक पाँसा – S = {1,2,3,4,5,6}

✔ दो सिक्के – 4 परिणाम

✔ तीन सिक्के – 8 परिणाम

✔ दो पाँसे – 36 परिणाम

✔ P(H) = 1/2

✔ P(3) = 1/6

✔ 0 ≤ P ≤ 1

✔ सम संभावी – सभी परिणाम समान