⭕ वृत्त और चक्रीय चतुर्भुज
जानें कि वृत्त (Circle) के गुण – केन्द्र से जीवा पर लम्ब, केन्द्रीय कोण, समान जीवाएँ, चक्रीय चतुर्भुज (Cyclic Quadrilateral), चक्रीय बिन्दु, तथा चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोणों का योग (180°) – को विस्तार से समझें।
📋 Chapter Overview – एक नज़र में
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📖 अध्याय सामग्री (Chapter Content)
वृत्त (Circle): एक ऐसी बन्द आकृति जिसमें केन्द्र (Centre) से सभी बिन्दुओं की दूरी समान होती है।
- केन्द्र (Centre): O – वृत्त का मध्य बिन्दु
- त्रिज्या (Radius): केन्द्र से वृत्त पर किसी बिन्दु तक की दूरी – OA
- व्यास (Diameter): वृत्त के एक बिन्दु से दूसरे बिन्दु तक केन्द्र से होकर जाने वाली रेखा – AOB
- जीवा (Chord): वृत्त पर दो बिन्दुओं को मिलाने वाली रेखाखण्ड
- चाप (Arc): वृत्त की परिधि का कोई भाग
📖 वृत्त: केन्द्र से समान दूरी पर स्थित बिन्दुओं का समूह – त्रिज्या, व्यास, जीवा, चाप।
प्रमेय 1: किसी वृत्त में, केन्द्र से उसकी किसी जीवा पर खींचा गया लम्ब, जीवा को समद्विभाजित करता है।
उदाहरण: एक वृत्त की त्रिज्या 5 सेमी है और केन्द्र से जीवा की दूरी 3 सेमी है। जीवा की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
हल: OM = 3 सेमी, OA = 5 सेमी
∆OMA में, \(AM^2 = OA^2 - OM^2 = 25 - 9 = 16\) → \(AM = 4\) सेमी
\(AB = 2 \times AM = 8\) सेमी
जीवा AB = 8 सेमी
⊥ गुण: केन्द्र से जीवा पर डाला गया लम्ब, जीवा को समद्विभाजित करता है (AM = MB)।
केन्द्रीय कोण: वह कोण जिसका शीर्ष (Vertex) वृत्त का केन्द्र (Centre) होता है।
📐 केन्द्रीय कोण: वह कोण जिसका शीर्ष वृत्त का केन्द्र होता है।
उदाहरण: एक वृत्त में AB = PQ = CD हैं। यदि ∠AOB = 65° है, तो ∠POQ और ∠COD ज्ञात कीजिए।
समान जीवाएँ केन्द्र पर समान कोण अन्तरित करती हैं।
∴ ∠POQ = ∠COD = ∠AOB = 65°
∠POQ = 65°, ∠COD = 65°
🔗 गुण: समान जीवाएँ केन्द्र पर समान कोण अन्तरित करती हैं (तथा विलोम भी सत्य)।
🔄 चक्रीय चतुर्भुज: चारों शीर्ष एक ही वृत्त पर – सम्मुख कोणों का योग 180°।
उदाहरण 1: चक्रीय चतुर्भुज ABCD में ∠A = 65° और ∠B = 70° है। ∠C और ∠D ज्ञात कीजिए।
∠A + ∠C = 180° → ∠C = 180° – 65° = 115°
∠B + ∠D = 180° → ∠D = 180° – 70° = 110°
∠C = 115°, ∠D = 110°
उदाहरण 2: चक्रीय चतुर्भुज ABCD में ∠A = 80° और ∠C = 100° है। सत्यापित कीजिए कि वे सम्पूरक हैं।
∠A + ∠C = 80° + 100° = 180°
हाँ, ये सम्पूरक हैं।
📐 गुण: चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोणों का योग 180° होता है (सम्पूरक)।
अभ्यास 13(a) – केन्द्र से जीवा पर लम्ब
प्रश्न 5: पार्श्व चित्र 13.9 में वृत्त का केन्द्र O है जिसकी एक जीवा AB = 30 मिमी तथा व्यास AC = 34 मिमी। जीवा AB की केन्द्र से दूरी OD होगी:
हल:
OA = व्यास/2 = 34/2 = 17 मिमी (त्रिज्या)
AD = AB/2 = 30/2 = 15 मिमी (केन्द्र से लम्ब जीवा को समद्विभाजित करता है)
∆ODA में, \(OD^2 = OA^2 - AD^2 = 17^2 - 15^2 = 289 - 225 = 64\)
\(OD = \sqrt{64} = 8\) मिमी
OD = 8 मिमी → विकल्प (iv)
प्रश्न 6: पार्श्व चित्र 13.10 में O वृत्त का केन्द्र है। त्रिज्या OA = 5.0 सेमी और जीवा AB = 8 सेमी। केन्द्र O से जीवा पर लम्ब त्रिज्या OCD खींची गयी है। रेखाखंड CD की माप होगी:
हल:
AC = AB/2 = 8/2 = 4 सेमी
OA = 5 सेमी, ∆OAC में: \(OC = \sqrt{OA^2 - AC^2} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3\) सेमी
OD = OA = 5 सेमी (त्रिज्या)
CD = OD - OC = 5 - 3 = 2 सेमी
CD = 2 सेमी
अभ्यास 13(b) – समान जीवाएँ
प्रश्न 1: पार्श्व चित्र 13.16 में O वृत्त का केन्द्र है। इस वृत्त की तीन जीवाएँ AB, PQ एवं CD इस प्रकार खींची गयी हैं कि AB = PQ = CD। यदि ∠AOB = 65° तो ∠POQ एवं ∠COD के मान क्या होंगे?
हल:
समान जीवाएँ केन्द्र पर समान कोण अन्तरित करती हैं।
AB = PQ = CD (दिया है)
∴ ∠AOB = ∠POQ = ∠COD = 65°
∠POQ = 65°, ∠COD = 65°
प्रश्न 2: पार्श्व चित्र 13.17 में O वृत्त का केन्द्र है। यदि ∠AOB = ∠COD और जीवा AB = 2.5 सेमी, तो जीवा CD की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
हल:
यदि दो जीवाएँ केन्द्र पर समान कोण अन्तरित करती हैं, तो वे जीवाएँ समान होती हैं।
∠AOB = ∠COD (दिया है)
∴ AB = CD
AB = 2.5 सेमी (दिया है)
CD = 2.5 सेमी
अभ्यास 13(c) – चक्रीय चतुर्भुज
प्रश्न 1: पार्श्व चित्र में बिन्दु O वृत्त का केन्द्र है। वृत्त के अन्तर्गत बने चतुर्भुजों में चक्रीय चतुर्भुज का नाम बताइए।
हल:
चक्रीय चतुर्भुज – वह चतुर्भुज जिसके चारों शीर्ष एक ही वृत्त पर स्थित हों।
चित्र में A, B, C, D वृत्त पर स्थित हैं, अतः ABCD चक्रीय चतुर्भुज है।
ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है।
प्रश्न 3: पार्श्व चित्र में ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है। (i) ∠A का सम्मुख कोण बताइए। (ii) ∠B का सम्मुख कोण बताइए।
हल:
चक्रीय चतुर्भुज ABCD में:
(i) ∠A का सम्मुख कोण = ∠C
(ii) ∠B का सम्मुख कोण = ∠D
(i) ∠C, (ii) ∠D
अभ्यास 13(d) – सम्मुख कोणों का योग
प्रश्न 1: एक चक्रीय चतुर्भुज ABCD में ∠A = 75° और ∠B = 85° है। ∠C और ∠D ज्ञात कीजिए।
हल:
∠A + ∠C = 180° → ∠C = 180° – 75° = 105°
∠B + ∠D = 180° → ∠D = 180° – 85° = 95°
∠C = 105°, ∠D = 95°
📝 अभ्यास: सभी प्रश्नों के हल विस्तार से दिए गए हैं – गुणों को समझें और लागू करें।
- वृत्त: केन्द्र से समान दूरी पर स्थित बिन्दुओं का समूह
- केन्द्र से जीवा पर लम्ब: जीवा को समद्विभाजित करता है (AM = MB)
- केन्द्र को जीवा के मध्य बिन्दु से मिलाने वाली रेखा: जीवा पर लम्ब होती है।
- केन्द्रीय कोण: शीर्ष केन्द्र पर – भुजाएँ वृत्त को काटती हैं।
- समान जीवाएँ: केन्द्र पर समान कोण अन्तरित करती हैं (तथा विलोम)।
- चक्रीय चतुर्भुज: चारों शीर्ष एक ही वृत्त पर
- चक्रीय बिन्दु: एक ही वृत्त पर स्थित बिन्दु
- चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोण: सम्पूरक (योग = 180°)
- प्रमेय: ∠A + ∠C = 180°, ∠B + ∠D = 180°
✅ मुख्य बिंदु
वृत्त और चक्रीय चतुर्भुज – ज्यामिति की महत्वपूर्ण अवधारणाएँ। केन्द्र से जीवा पर लम्ब, समान जीवाएँ, चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोणों का योग 180° – ये सभी प्रमेय ज्यामितीय समस्याओं को हल करने में सहायक हैं। चक्रीय चतुर्भुज की पहचान और उसके गुणों का उपयोग विभिन्न ज्यामितीय आकृतियों में होता है।
🧠 माइंडमैप – वृत्त और चक्रीय चतुर्भुज
🧩 मिलान अभ्यास – अध्याय 13: वृत्त और चक्रीय चतुर्भुज
✅ प्रत्येक row में 6 विकल्प दिखेंगे – सही चुनें और तुरंत परिणाम देखें।
🧠 Practice Quiz – अध्याय 13: वृत्त और चक्रीय चतुर्भुज
✅ एक बार उत्तर चुनने के बाद बदला नहीं जा सकता।