अध्याय 18: क्षेत्रमिति – Junior School Online

📐 Maths – Class 8 – Chapter 18

📐 क्षेत्रमिति (Mensuration)

जानें कि समलम्बाकार क्षेत्र का क्षेत्रफल, वृत्त की परिधि एवं व्यास में सम्बन्ध, वृत्त का क्षेत्रफल, लम्ब वृत्तीय बेलन तथा शंकु का आयतन एवं सम्पूर्ण पृष्ठ कैसे ज्ञात करें – उदाहरणों के साथ।

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📋 Chapter Overview – एक नज़र में

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वृत्त – परिधि & व्यास

Exercises & Solutions

📖 अध्याय सामग्री (Chapter Content)

1 📐 भूमिका – क्षेत्रमिति का परिचय

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क्षेत्रमिति (Mensuration) – ज्यामिति की वह शाखा है जिसमें हम विभिन्न आकृतियों (2D और 3D) के क्षेत्रफल, परिमाप, आयतन तथा पृष्ठीय क्षेत्रफल का अध्ययन करते हैं।

समलम्ब (Trapezium): एक चतुर्भुज जिसकी एक जोड़ी समान्तर भुजाएँ होती हैं।
वृत्त (Circle): एक बिन्दु (केन्द्र) से समान दूरी पर स्थित बिन्दुओं का समूह।
बेलन (Cylinder): एक 3D ठोस जिसके दो समान वृत्ताकार आधार और एक वक्र पृष्ठ होता है।
शंकु (Cone): एक 3D ठोस जिसका आधार वृत्ताकार और एक वक्र पृष्ठ होता है जो शीर्ष पर मिलता है।

📐 क्षेत्रमिति: हमारे दैनिक जीवन में अत्यन्त उपयोगी – पग-पग पर इन आकृतियों का सामना होता है।

📐 क्षेत्रमिति – विभिन्न आकृतियाँ

चित्र 18.1: क्षेत्रमिति – विभिन्न आकृतियाँ

🔑 मुख्य बिंदु

क्षेत्रमिति (Mensuration) – समलम्ब, वृत्त, बेलन, शंकु आदि के क्षेत्रफल, परिमाप, आयतन तथा पृष्ठीय क्षेत्रफल का अध्ययन – दैनिक जीवन में अत्यन्त उपयोगी।

2 ▱ समलम्बाकार क्षेत्र का क्षेत्रफल

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समलम्ब (Trapezium) – एक चतुर्भुज जिसकी एक जोड़ी समान्तर भुजाएँ होती हैं।

📌 सूत्र: समलम्बाकार क्षेत्र का क्षेत्रफल

क्षेत्रफल = ½ × (समान्तर भुजाओं का योग) × ऊँचाई

A = ½ × (b₁ + b₂) × h

समान्तर भुजाएँ (b₁, b₂): AB और DC – समलम्ब की आधार भुजाएँ
ऊँचाई (h): समान्तर भुजाओं के बीच की लम्बवत् दूरी
असमान्तर भुजाएँ: AD और BC

▱ समलम्ब ABCD – समान्तर भुजाएँ AB और DC

चित्र 18.2: समलम्ब ABCD – AB || DC, b₁ = AB, b₂ = DC, h = ऊँचाई

▱ समलम्ब का क्षेत्रफल: A = ½ × (b₁ + b₂) × h – जहाँ b₁, b₂ समान्तर भुजाएँ और h ऊँचाई है।

📌 उदाहरण 1: समलम्ब का क्षेत्रफल

प्रश्न: एक समलम्ब की समान्तर भुजाएँ 15 मी और 8 मी हैं, उनके बीच की दूरी 12 मी है। समलम्ब से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

✅ हल:

A = ½ × (b₁ + b₂) × h

= ½ × (15 + 8) × 12 = ½ × 23 × 12 = 138 मी²

उत्तर: 138 मी²

📌 उदाहरण 2: दूसरी समान्तर भुजा ज्ञात करना

प्रश्न: ऊँचाई 3 सेमी वाले एक समलम्बाकार क्षेत्र का क्षेत्रफल 12 सेमी² है। यदि समान्तर भुजाओं में से एक 3 सेमी हो, तो दूसरी की लम्बाई क्या है?

✅ हल:

A = ½ × (b₁ + b₂) × h

12 = ½ × (3 + b₂) × 3

12 = (3/2) × (3 + b₂) → 8 = 3 + b₂ → b₂ = 5 सेमी

उत्तर: दूसरी भुजा = 5 सेमी

3 ⭕ वृत्त – परिधि और व्यास में सम्बन्ध

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π (पाई) – एक नियतांक (Constant) – किसी भी वृत्त की परिधि (Circumference) और व्यास (Diameter) का अनुपात 22/7 या 3.14 (लगभग) होता है।

📌 सूत्र:

C = πd = 2πr | d = C/π | r = C/(2π)

जहाँ C = परिधि, d = व्यास, r = त्रिज्या, π ≈ 22/7 ≈ 3.14

π का इतिहास: आर्यभट्ट ने सबसे पहले π का 4 स्थानों तक शुद्ध मान दिया (3.1416)।
परिधि (Circumference): वृत्त के चारों ओर की दूरी – C = 2πr
व्यास (Diameter): वृत्त के एक छोर से दूसरे छोर तक की दूरी – d = 2r

⭕ वृत्त – केन्द्र, त्रिज्या, व्यास

चित्र 18.3: वृत्त – केन्द्र O, त्रिज्या r, व्यास d = 2r

📌 उदाहरण 3: परिधि ज्ञात करना

प्रश्न: उस वृत्त की परिधि ज्ञात कीजिए जिसकी त्रिज्या 21 सेमी है।

✅ हल:

C = 2πr = 2 × (22/7) × 21 = 132 सेमी

उत्तर: 132 सेमी

📌 उदाहरण 4: व्यास ज्ञात करना

प्रश्न: दौड़ के लिए वृत्ताकार ट्रैक (रास्ता) ऐसा बनवाना है कि एक चक्कर में 110 मीटर की दौड़ पूरी हो जाय। इस ट्रैक का व्यास कितना होगा?

✅ हल:

C = 110 मी, C = πd → d = C/π = 110 / (22/7) = 110 × 7/22 = 35 मी

उत्तर: व्यास = 35 मी

4 🔵 वृत्ताकार क्षेत्र का क्षेत्रफल

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वृत्त का क्षेत्रफल (Area of Circle) – वृत्त के अन्दर के सम्पूर्ण क्षेत्र को क्षेत्रफल कहते हैं।

📌 सूत्र: वृत्त का क्षेत्रफल

A = πr²

जहाँ r = वृत्त की त्रिज्या, π ≈ 22/7 ≈ 3.14

क्षेत्रफल का निष्कर्ष: वृत्त को 16 (या अधिक) त्रिज्यखण्डों में बाँटकर आयत के रूप में व्यवस्थित करने पर – लम्बाई = πr, चौड़ाई = r → क्षेत्रफल = πr²

🔵 वृत्त का क्षेत्रफल – πr²

चित्र 18.4: वृत्त का क्षेत्रफल – A = πr²

📌 उदाहरण: वृत्त का क्षेत्रफल

प्रश्न: घास के मैदान में एक खूंट से बँधी एक गाय 10.5 मी दूरी तक घास चर सकती है। वह कितने क्षेत्रफल की घास चर सकती है?

✅ हल:

r = 10.5 मी, A = πr² = (22/7) × (10.5)² = (22/7) × 110.25 = 346.5 मी²

उत्तर: 346.5 मी²

5 🥫 लम्ब वृत्तीय बेलन – आयतन एवं सम्पूर्ण पृष्ठ

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लम्ब वृत्तीय बेलन (Right Circular Cylinder) – एक 3D ठोस जिसके दो समान वृत्ताकार आधार और एक वक्र पृष्ठ होता है।

📌 बेलन के सूत्र:

वक्रपृष्ठ (CSA)

2πrh

सम्पूर्ण पृष्ठ (TSA)

2πr(h+r)

आयतन (Volume)

πr²h

🥫 लम्ब वृत्तीय बेलन – r, h, CSA, TSA

चित्र 18.5: लम्ब वृत्तीय बेलन – त्रिज्या r, ऊँचाई h

📌 उदाहरण: बेलन का आयतन, वक्रपृष्ठ और सम्पूर्ण पृष्ठ

प्रश्न: एक बेलन की ऊँचाई 18 सेमी तथा त्रिज्या 10.5 सेमी है। इस बेलन का आयतन, वक्रपृष्ठ और सम्पूर्ण पृष्ठ ज्ञात कीजिए।

✅ हल:

r = 10.5 सेमी, h = 18 सेमी

CSA = 2πrh = 2 × (22/7) × 10.5 × 18 = 1188 सेमी²

आधार का क्षेत्रफल = πr² = (22/7) × 10.5² = 346.5 सेमी²

TSA = CSA + 2 × आधार क्षेत्रफल = 1188 + 693 = 1881 सेमी²

Volume = πr²h = (22/7) × 10.5² × 18 = 6237 सेमी³

उत्तर: आयतन = 6237 सेमी³, CSA = 1188 सेमी², TSA = 1881 सेमी²

6 🍦 लम्ब वृत्तीय शंकु – आयतन एवं सम्पूर्ण पृष्ठ

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लम्ब वृत्तीय शंकु (Right Circular Cone) – एक 3D ठोस जिसका आधार वृत्ताकार, एक वक्र पृष्ठ और एक शीर्ष (Vertex) होता है।

📌 शंकु के सूत्र:

तिरछी ऊँचाई (l)

l = √(h² + r²)

वक्रपृष्ठ (CSA)

πrl

सम्पूर्ण पृष्ठ (TSA)

πr(l + r)

आयतन (Volume)

⅓πr²h

🍦 लम्ब वृत्तीय शंकु – r, h, l

चित्र 18.6: लम्ब वृत्तीय शंकु – V शीर्ष, r त्रिज्या, h ऊँचाई, l तिरछी ऊँचाई

📌 उदाहरण: शंकु का आयतन और वक्रपृष्ठ

प्रश्न: एक शंकु के आधार की त्रिज्या 3.5 सेमी तथा ऊँचाई 12 सेमी है। शंकु का आयतन तथा वक्रपृष्ठ ज्ञात कीजिए।

✅ हल:

r = 3.5 सेमी, h = 12 सेमी

l = √(h² + r²) = √(144 + 12.25) = √156.25 = 12.5 सेमी

Volume = ⅓πr²h = ⅓ × (22/7) × 3.5² × 12 = 154 सेमी³

CSA = πrl = (22/7) × 3.5 × 12.5 = 137.5 सेमी²

उत्तर: आयतन = 154 सेमी³, CSA = 137.5 सेमी²

7 📝 अभ्यास (Exercises) – प्रश्न एवं विस्तृत हल

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📌 अभ्यास 18(a) – समलम्ब का क्षेत्रफल

प्रश्न 1: एक समलम्बाकार क्षेत्र की समान्तर भुजाएँ 3 सेमी और 4 सेमी हैं। इनके बीच की दूरी 3 सेमी है। समलम्बाकार क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

✅ हल:

A = ½ × (3 + 4) × 3 = ½ × 7 × 3 = 10.5 सेमी²

उत्तर: 10.5 सेमी²

प्रश्न 2: 3 सेमी ऊँचाई के समलम्बाकार क्षेत्र का क्षेत्रफल 36 वर्ग सेमी है। इसकी समान्तर भुजाओं में से एक भुजा की लम्बाई 9 सेमी है। दूसरी समान्तर भुजा की लम्बाई ज्ञात कीजिए।

✅ हल:

A = ½ × (b₁ + b₂) × h

36 = ½ × (9 + b₂) × 3 → 36 = (3/2) × (9 + b₂) → 24 = 9 + b₂ → b₂ = 15 सेमी

उत्तर: दूसरी भुजा = 15 सेमी

प्रश्न 3: चतुर्भुज ABCD में AB || CD और AD ⟂ AB, AB = 8 सेमी, BC = DC = 5 सेमी। चतुर्भुज ABCD से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

✅ हल:

समलम्ब में AB = 8 सेमी, DC = 5 सेमी, AD = ऊँचाई

AD = √(BC² - (AB - DC)²) = √(25 - 9) = √16 = 4 सेमी

A = ½ × (8 + 5) × 4 = 26 सेमी²

उत्तर: 26 सेमी²

प्रश्न 4: एक समलम्बाकार क्षेत्र की समान्तर भुजाएँ 8 मी और 6 मी हैं, और इसकी ऊँचाई 4 मी है। समलम्बाकार क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

✅ हल:

A = ½ × (8 + 6) × 4 = ½ × 14 × 4 = 28 मी²

उत्तर: 28 मी²

प्रश्न 5: एक समलम्बाकार क्षेत्र का क्षेत्रफल 240 मी² है और उसकी ऊँचाई 15 मी है। यदि समान्तर भुजाओं में से एक, दूसरी की दो गुनी हो, तो दोनों समान्तर भुजाओं की लम्बाई ज्ञात कीजिए।

✅ हल:

माना छोटी भुजा = x, बड़ी भुजा = 2x

A = ½ × (x + 2x) × 15 = 240 → ½ × 3x × 15 = 240 → 22.5x = 240 → x = 10.67 मी

छोटी भुजा = 10.67 मी, बड़ी भुजा = 21.33 मी

उत्तर: 10.67 मी और 21.33 मी

📌 अभ्यास 18(b) – वृत्त की परिधि

प्रश्न 1: उस वृत्त की परिधि ज्ञात कीजिए जिसकी त्रिज्या 14 सेमी है।

✅ हल:

C = 2πr = 2 × (22/7) × 14 = 88 सेमी

उत्तर: 88 सेमी

प्रश्न 2: एक वृत्त का व्यास 56 सेमी है। उसकी परिधि ज्ञात कीजिए।

✅ हल:

C = πd = (22/7) × 56 = 176 सेमी

उत्तर: 176 सेमी

प्रश्न 3: एक साइकिल के पहिए का व्यास 77 सेमी है। 2.42 किमी चलने में पहिया कितने चक्कर लगायेगा?

✅ हल:

पहिए की परिधि = πd = (22/7) × 77 = 242 सेमी = 2.42 मी

कुल दूरी = 2.42 किमी = 2420 मी

चक्कर = 2420 / 2.42 = 1000

उत्तर: 1000 चक्कर

प्रश्न 4: दौड़ के लिए एक वृत्ताकार पथ बनाना है, जिससे कि 8 चक्कर में एक किलोमीटर पूरा हो जाय। निकटतम डेसीमी तक पथ का व्यास ज्ञात कीजिए।

✅ हल:

8 चक्कर = 1000 मी → 1 चक्कर = 125 मी

C = 125 मी, d = C/π = 125 / (22/7) = 125 × 7/22 = 39.77 मी ≈ 39.8 मी

उत्तर: 39.8 मी

प्रश्न 5: 66 सेमी चाँदी के तार से बराबर नाप के 10 छल्ले बनाना है। प्रत्येक छल्ले का व्यास क्या होगा?

✅ हल:

एक छल्ले के लिए तार = 66/10 = 6.6 सेमी

C = 6.6 सेमी, d = C/π = 6.6 / (22/7) = 6.6 × 7/22 = 2.1 सेमी

उत्तर: 2.1 सेमी

📌 अभ्यास 18(c) – वृत्त का क्षेत्रफल

प्रश्न 1: उस वृत्त का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसकी त्रिज्या 14 सेमी है।

✅ हल:

A = πr² = (22/7) × 14² = (22/7) × 196 = 616 सेमी²

उत्तर: 616 सेमी²

प्रश्न 2: एक वृत्त का व्यास 28 सेमी है। उसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

✅ हल:

r = 14 सेमी, A = πr² = (22/7) × 14² = 616 सेमी²

उत्तर: 616 सेमी²

प्रश्न 3: एक वृत्त की परिधि 88 सेमी है। उसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

✅ हल:

C = 88 सेमी, r = C/(2π) = 88 / (2 × 22/7) = 88 × 7/44 = 14 सेमी

A = πr² = (22/7) × 14² = 616 सेमी²

उत्तर: 616 सेमी²

📌 अभ्यास 18(d) – बेलन

प्रश्न 1: एक वर्गाकार कागज जिसकी भुजा 25 सेमी है, उसको मोड़कर बेलन बनाया गया है। बने बेलन का वक्रपृष्ठ ज्ञात कीजिए।

✅ हल:

वर्ग की भुजा = 25 सेमी → बेलन की ऊँचाई = 25 सेमी, परिधि = 25 सेमी

CSA = 2πr × h = परिधि × ऊँचाई = 25 × 25 = 625 सेमी²

उत्तर: 625 सेमी²

प्रश्न 2: एक लम्ब वृत्तीय बेलनाकार ड्रम का व्यास 55 सेमी तथा लम्बाई 120 सेमी है। उस ड्रम में कितने लीटर पानी आयेगा?

✅ हल:

r = 55/2 = 27.5 सेमी, h = 120 सेमी

Volume = πr²h = (22/7) × 27.5² × 120 = (22/7) × 756.25 × 120 = 285,000 सेमी³

1 लीटर = 1000 सेमी³ → 285000/1000 = 285 लीटर

उत्तर: 285 लीटर

📌 अभ्यास 18(e) – शंकु

प्रश्न 1: एक शंकु के आधार की त्रिज्या 3.5 सेमी तथा ऊँचाई 12 सेमी है। शंकु का आयतन तथा वक्रपृष्ठ ज्ञात कीजिए।

✅ हल:

r = 3.5 सेमी, h = 12 सेमी

l = √(144 + 12.25) = √156.25 = 12.5 सेमी

Volume = ⅓πr²h = ⅓ × (22/7) × 3.5² × 12 = 154 सेमी³

CSA = πrl = (22/7) × 3.5 × 12.5 = 137.5 सेमी²

उत्तर: आयतन = 154 सेमी³, CSA = 137.5 सेमी²

प्रश्न 2: एक शंकु का आयतन 100π घन सेमी है। यदि आधार की त्रिज्या 5 सेमी हो, तो उसका वक्रपृष्ठ ज्ञात कीजिए।

✅ हल:

Volume = ⅓πr²h = 100π → ⅓ × 25 × h = 100 → h = 12 सेमी

l = √(144 + 25) = √169 = 13 सेमी

CSA = πrl = π × 5 × 13 = 65π सेमी²

उत्तर: 65π सेमी²

📝 अभ्यास का निष्कर्ष

इन अभ्यासों से हमने समलम्ब, वृत्त, बेलन और शंकु के क्षेत्रफल, परिधि, आयतन और पृष्ठीय क्षेत्रफल के सूत्रों का उपयोग करना सीखा।

8 📖 सारांश – हमने क्या सीखा

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समलम्ब का क्षेत्रफल: A = ½ × (b₁ + b₂) × h
वृत्त की परिधि: C = πd = 2πr, π ≈ 22/7 ≈ 3.14
वृत्त का क्षेत्रफल: A = πr²
बेलन (Cylinder):
- CSA = 2πrh
- TSA = 2πr(h+r)
- Volume = πr²h
शंकु (Cone):
- l = √(h² + r²)
- CSA = πrl
- TSA = πr(l+r)
- Volume = ⅓πr²h

✅ मुख्य बिंदु

क्षेत्रमिति (Mensuration) – 2D और 3D आकृतियों के मापन का अध्ययन।
समलम्ब, वृत्त, बेलन और शंकु के सूत्र हमारे दैनिक जीवन में अत्यन्त उपयोगी हैं – जैसे टंकी, टोपी, ड्रम, तम्बू आदि।

🧠 माइंडमैप – क्षेत्रमिति – संपूर्ण सारांश

📐 क्षेत्रमिति – पूरे अध्याय का निष्कर्ष (Chapter Conclusion)

▱ समलम्ब

A = ½(b₁+b₂)h समान्तर भुजाएँ b₁, b₂ ऊँचाई h

⭕ वृत्त

C = πd = 2πr A = πr² π ≈ 22/7 ≈ 3.14

🥫 बेलन

CSA = 2πrh TSA = 2πr(h+r) Volume = πr²h

🍦 शंकु

l = √(h²+r²) CSA = πrl TSA = πr(l+r) Volume = ⅓πr²h

📝 सूत्र सारांश

2D: क्षेत्रफल, परिधि 3D: आयतन, पृष्ठ π – नियतांक

🔑 निष्कर्ष

क्षेत्रमिति – मापन का अध्ययन दैनिक जीवन में उपयोगी सूत्रों का सही उपयोग

📐 निष्कर्ष: क्षेत्रमिति (Mensuration) – 2D और 3D आकृतियों के मापन का अध्ययन। समलम्ब (A = ½(b₁+b₂)h), वृत्त (C = 2πr, A = πr²), बेलन (CSA = 2πrh, TSA = 2πr(h+r), Volume = πr²h), शंकु (l = √(h²+r²), CSA = πrl, TSA = πr(l+r), Volume = ⅓πr²h) – ये सूत्र दैनिक जीवन में अत्यन्त उपयोगी हैं।

🧩 मिलान अभ्यास – 18: क्षेत्रमिति

✅ प्रत्येक row में 6 विकल्प दिखेंगे – सही चुनें और तुरंत परिणाम देखें।

🧠 Practice Quiz – 18: क्षेत्रमिति

🎯 आपकी प्रगति

स्कोर: 0/0

✅ एक बार उत्तर चुनने के बाद बदला नहीं जा सकता।

📝 इस इकाई में हमने सीखा

✔ समलम्ब – A = ½(b₁+b₂)h

✔ वृत्त – C = 2πr, A = πr²

✔ π – 22/7 ≈ 3.14

✔ बेलन (CSA) – 2πrh

✔ बेलन (TSA) – 2πr(h+r)

✔ बेलन (Volume) – πr²h

✔ शंकु (l) – √(h²+r²)

✔ शंकु (CSA) – πrl

✔ शंकु (TSA) – πr(l+r)

✔ शंकु (Volume) – ⅓πr²h

✔ 2D मापन – क्षेत्रफल, परिधि

✔ 3D मापन – आयतन, पृष्ठ