✖️ गुणा – ऊर्ध्वतिर्यक एवं आधार विधि
इस अध्याय में हम वैदिक गणित की दो महत्वपूर्ण विधियों – ऊर्ध्वतिर्यक (खड़ा-तिरछा) और आधार पद्धति (निखिलं सूत्र) – से गुणा करना सीखेंगे। ये विधियाँ गणना को तीव्र और सरल बनाती हैं।
📋 Chapter Overview – एक नज़र में
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📖 अध्याय सामग्री (Chapter Content)
वैदिक गणित – हमारे प्राचीन वेदों से प्राप्त गणितीय गणनाओं की परम्परा।
- जब कैलकुलेटर और कम्प्यूटर नहीं थे, तब इन सूत्रों से तेज़ गणना की जाती थी।
- इस अध्याय में हम ऊर्ध्वतिर्यक और आधार पद्धति (निखिलं) सूत्र सीखेंगे।
📌 गुण्य और गुणक
- गुण्य – जिस संख्या में गुणा करते हैं।
- गुणक – जिस संख्या से गुणा करते हैं।
- जैसे: 12 × 13 में – 12 गुण्य, 13 गुणक
💡 ऊर्ध्वतिर्यक का अर्थ
ऊर्ध्व = खड़ा (Vertical) | तिर्यक = तिरछा (Cross)
∴ ऊर्ध्वतिर्यक = खड़ा–तिरछा गुणन
चरण:
× 1 3
📌 विधि
- चरण 1: दाहिने अंकों का खड़ा (ऊर्ध्व) गुणन – इकाई अंक
- चरण 2: तिरछा (तिर्यक) गुणन + जोड़ – दहाई अंक
- चरण 3: बाएँ अंकों का खड़ा (ऊर्ध्व) गुणन – सैकड़ा अंक
📌 उदाहरण – 16 × 11
× 1 1
= 1 / (1×1 + 6×1) / 6 = 1 / 7 / 6 = 176
📌 उदाहरण – 35 × 67
× 6 7
= (3×6) / (3×7 + 6×5) / (5×7)
= 18 / (21+30) / 35 = 18 / 51 / 35
= 18 / (51+3) / 5 = 18 / 54 / 5 = 18 / (5+54) / 5 = 2345
111 × 111 का गुणन:
× 1 1 1
📌 3-अंकीय विधि के चरण
- चरण 1: इकाई × इकाई
- चरण 2: (दहाई×इकाई) + (इकाई×दहाई)
- चरण 3: (सैकड़ा×इकाई) + (दहाई×दहाई) + (इकाई×सैकड़ा)
- चरण 4: (सैकड़ा×दहाई) + (दहाई×सैकड़ा)
- चरण 5: सैकड़ा × सैकड़ा
📌 उदाहरण – 102 × 104
× 1 0 4
= 1 / (1×0 + 0×1) / (1×4 + 0×0 + 2×1) / (0×4 + 2×0) / (2×4)
= 1 / 0 / 6 / 0 / 8 = 10608
💡 3-अंकीय × 2-अंकीय
2-अंकीय संख्या के बायें शून्य (0) लगाकर 3-अंकीय बना लें।
जैसे: 214 × 32 = 214 × 032
नियम: जब किसी चरण में 2 या अधिक अंकों वाली संख्या प्राप्त हो, तो दाहिने अंक को लिखें और बाकी अंक को बायीं ओर जोड़ दें।
📌 उदाहरण – 15 × 37
× 3 7
= (1×3) / (1×7 + 3×5) / (5×7)
= 3 / (7+15) / 35 = 3 / 22 / 35
= 3 / (22+3) / 5 = 3 / 25 / 5 = 555
ध्यान दें: 35 में 3 को बायें जोड़ा गया, 22 में 2 को बायें जोड़ा गया।
📌 उदाहरण – 49 × 49
× 4 9
= 16 / (36+36) / 81 = 16 / 72 / 81
= 16 / (72+8) / 1 = 16 / 80 / 1 = (16+8) / 0 / 1 = 2401
📌 महत्वपूर्ण
हासिल (carry) को बायीं ओर जोड़ना है, दायीं ओर नहीं!
आधार पद्धति – संख्याओं को 10, 100, 1000 आदि आधार के सापेक्ष पूरक (अंतर) निकालकर गुणा करना।
| संख्या | आधार | पूरक (संख्या – आधार) |
|---|---|---|
| 7 | 10 | -3 |
| 15 | 10 | +5 |
| 85 | 100 | -15 |
| 104 | 100 | +4 |
| 1006 | 1000 | +6 |
📌 उदाहरण – 95 × 99
95 का पूरक = -5, 99 का पूरक = -1
बायाँ पक्ष = 95 + (-1) = 94
दायाँ पक्ष = (-5) × (-1) = 5
उत्तर = 94 / 05 = 9405
📌 उदाहरण – 102 × 107
102 का पूरक = +2, 107 का पूरक = +7
बायाँ पक्ष = 102 + 7 = 109
दायाँ पक्ष = 2 × 7 = 14
उत्तर = 109 / 14 = 10914
📌 सूत्र
बायाँ पक्ष = पहली संख्या + दूसरी संख्या का पूरक
दायाँ पक्ष = पूरकों का गुणनफल
दायाँ पक्ष में आधार के अनुसार अंकों की संख्या बनाएँ (10 → 1 अंक, 100 → 2 अंक)
जब एक संख्या आधार से बड़ी (धनात्मक पूरक) और दूसरी छोटी (ऋणात्मक पूरक) हो।
📌 उदाहरण – 12 × 9
12 का पूरक = +2, 9 का पूरक = -1
बायाँ पक्ष = 12 + (-1) = 11
दायाँ पक्ष = (+2) × (-1) = -2
उत्तर = 11 / -2
= (11-1) / (10-2) = 108
∵ दायाँ पक्ष ऋणात्मक है, बायें में से 1 घटाएँ और दायें में 10 जोड़ें।
📌 नियम
- यदि दायाँ पक्ष ऋणात्मक हो, तो बायें पक्ष में से 1 घटाकर दायें में आधार जोड़ दें।
- यदि दायाँ पक्ष आधार के अंकों से अधिक हो, तो हासिल बायें जोड़ें।
अभ्यास 17(a) – ऊर्ध्वतिर्यक विधि
- 16 × 11 = 176
- 21 × 16 = 336
- 23 × 21 = 483
- 32 × 32 = 1024
- 83 × 92 = 7636
- 46 × 35 = 1610
- 26 टोकरी × 16 आम = 416 आम
- 32 क्यारियाँ × 54 पौधे = 1728 पौधे
- 15 परिवार × 10 लोग = 150 लोग
अभ्यास 17(b) – 3-अंकीय गुणन
- 101 × 102 = 10302
- 103 × 100 = 10300
- 116 × 114 = 13224
- 582 × 114 = 134442
- 116 × 117 = 13572
- 236 × 425 = 100300
- 76 × 369 = 28044
- 136 × 436 = 59296
आधार पद्धति (निखिलं)
- 9 × 8 = 72
- 11 × 12 = 132
- 7 × 6 = 42
- 99 × 92 = 9108
- 998 × 997 = 995006
- 1012 × 1007 = 1019084
- 107 × 102 = 10914
📌 जादू – सिर्फ 4 की आवृत्ति!
9 8 7 6 5 4 3 2 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9
9 8 7 6 5 4 3 2 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9
9 8 7 6 5 4 3 2 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9
9 8 7 6 5 4 3 2 1
+ 4
= 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
1 से 9 तक की संख्याओं को बारी-बारी से बढ़ते और घटते क्रम में लिखकर 4 जोड़ने पर सिर्फ 4 की आवृत्ति आती है!
🧩 मिलान अभ्यास – 25 Pairs
कॉलम A का कॉलम B से सही मिलान करें – हर पंक्ति में केवल 6 विकल्प दिखेंगे।
सही उत्तर चुनते ही ✅/❌ का निशान और गलत पर सही उत्तर दिख जाएगा।
🧠 Practice Quiz – गुणा (ऊर्ध्वतिर्यक एवं आधार विधि)
✅ एक बार उत्तर चुनने के बाद बदला नहीं जा सकता।