📦 क्षेत्रमिति (Mensuration)
इस अध्याय में हम घन, घनाभ, पिरामिड, प्रिज्म जैसी 3D आकृतियों के फलक, कोर, शीर्ष, यूलर का सूत्र (V + F = E + 2), तथा घनाभ एवं घन के आयतन के बारे में जानेंगे।
📋 Chapter Overview – एक नज़र में
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📖 अध्याय सामग्री (Chapter Content)
3D (त्रिविमीय) आकृतियाँ – वे आकृतियाँ जिनमें लम्बाई, चौड़ाई और ऊँचाई तीनों होती हैं।
- 2D आकृतियाँ – केवल लम्बाई और चौड़ाई (जैसे वर्ग, त्रिभुज, वृत्त)
- 3D आकृतियाँ – लम्बाई, चौड़ाई और ऊँचाई (जैसे घन, घनाभ, गोला, बेलन)
📌 3D आकृतियों के अंग
- फलक (Face) – आकृति की सपाट सतह
- कोर (Edge) – दो फलकों के मिलन की रेखा
- शीर्ष (Vertex) – कोरों का मिलन बिन्दु
| आकृति | फलक (F) | कोर (E) | शीर्ष (V) |
|---|---|---|---|
| घन (Cube) | 6 | 12 | 8 |
| घनाभ (Cuboid) | 6 | 12 | 8 |
| त्रिभुजाकार प्रिज्म | 5 | 9 | 6 |
| आयताकार पिरामिड | 5 | 8 | 5 |
📌 ध्यान दें
- घन और घनाभ दोनों में 6 फलक, 12 कोर, 8 शीर्ष होते हैं।
- प्रिज्म का आधार त्रिभुजाकार होता है।
- पिरामिड का आधार आयताकार होता है।
फलक (Face) – आकृति की सपाट सतह।
कोर (Edge) – दो फलकों के मिलन की रेखा।
शीर्ष (Vertex) – कोरों का मिलन बिन्दु।
📌 याद रखने की ट्रिक
- घन/घनाभ → 6 फलक, 12 कोर, 8 शीर्ष
- प्रिज्म (त्रिभुजाकार) → 5 फलक, 9 कोर, 6 शीर्ष
- पिरामिड (आयताकार) → 5 फलक, 8 कोर, 5 शीर्ष
💡 लूडो के पासे में
- फलक = 6, कोर = 12, शीर्ष = 8
- आमने-सामने के फलकों पर अंकित बिन्दुओं का योग = 7
यूलर का सूत्र – किसी भी बहुफलक (Polyhedron) के लिए:
V + F = E + 2
जहाँ V = शीर्ष, F = फलक, E = कोर
| आकृति | V | F | E | V + F | E + 2 | सत्य? |
|---|---|---|---|---|---|---|
| घन/घनाभ | 8 | 6 | 12 | 14 | 14 | ✅ |
| त्रिभुजाकार प्रिज्म | 6 | 5 | 9 | 11 | 11 | ✅ |
| आयताकार पिरामिड | 5 | 5 | 8 | 10 | 10 | ✅ |
📌 यूलर का सूत्र सभी बहुफलकों के लिए सत्य है
इस सूत्र का उपयोग किसी भी 3D आकृति में अज्ञात अंग (शीर्ष, फलक या कोर) ज्ञात करने के लिए किया जाता है।
आयतन (Volume) – किसी वस्तु द्वारा घेरे गये कुल स्थान की माप।
- मात्रक: घन सेमी (cm³), घन मीटर (m³)
- 1 cm³ – 1 सेमी कोर वाले घन का आयतन
- 1 m³ – 1 मीटर कोर वाले घन का आयतन
📌 महत्वपूर्ण रूपांतरण
- 1 m³ = 100 cm × 100 cm × 100 cm = 10,00,000 cm³
- 1 लीटर = 1000 cm³
- 1 m³ = 1000 लीटर
घनाभ का आयतन
आयतन = लम्बाई × चौड़ाई × ऊँचाई
V = l × b × h
घन का आयतन
आयतन = भुजा × भुजा × भुजा
V = a × a × a = a³
📌 उदाहरण – घनाभ का आयतन
एक घनाभ की लम्बाई = 8 सेमी, चौड़ाई = 6 सेमी, ऊँचाई = 3 सेमी
आयतन = 8 × 6 × 3 = 144 घन सेमी
📌 उदाहरण – घन का आयतन
एक घन की भुजा = 5 सेमी
आयतन = 5 × 5 × 5 = 125 घन सेमी
📌 उदाहरण 1 – साबुन का टुकड़ा
एक घनाभाकार साबुन की लम्बाई = 8 सेमी, चौड़ाई = 6 सेमी, ऊँचाई = 3 सेमी
आयतन = 8 × 6 × 3 = 144 घन सेमी
इसे 1 सेमी के घनों में काटने पर 144 टुकड़े प्राप्त होंगे।
📌 उदाहरण 2 – ईंटों की संख्या
एक दीवार की लम्बाई = 10 मी, चौड़ाई = 0.5 मी, ऊँचाई = 3 मी
दीवार का आयतन = 10 × 0.5 × 3 = 15 m³
एक ईंट का आयतन = 0.2 × 0.1 × 0.075 = 0.0015 m³
ईंटों की संख्या = 15 ÷ 0.0015 = 10,000
📌 उदाहरण 3 – पानी की टंकी
एक टंकी की लम्बाई = 3 मी, चौड़ाई = 2 मी, ऊँचाई = 1.5 मी
आयतन = 3 × 2 × 1.5 = 9 m³ = 9000 लीटर
📌 गतिविधि – आयतन मापना
- एक घनाभाकार साबुन का टुकड़ा लें (लम्बाई = 8 सेमी, चौड़ाई = 6 सेमी, ऊँचाई = 3 सेमी)।
- इसे 1 सेमी मोटी पट्टियों में काटें – 3 पट्टियाँ प्राप्त होंगी।
- प्रत्येक पट्टी को 1 सेमी × 1 सेमी के टुकड़ों में काटें – 48 टुकड़े प्रति पट्टी।
- कुल टुकड़े = 3 × 48 = 144 घन सेमी।
∴ आयतन = 144 घन सेमी (जो कि 8 × 6 × 3 के बराबर है)
📌 प्रोजेक्ट – चाय का डिब्बा
एक चाय के डिब्बे की लम्बाई = 15 सेमी, चौड़ाई = 9 सेमी, ऊँचाई = 6 सेमी
- सभी फलकों का क्षेत्रफल = 2(lb + bh + hl) = 2(15×9 + 9×6 + 6×15) = 558 वर्ग सेमी
- आयतन = 15 × 9 × 6 = 810 घन सेमी
🧩 मिलान अभ्यास – 25 Pairs
कॉलम A का कॉलम B से सही मिलान करें – हर पंक्ति में केवल 6 विकल्प दिखेंगे।
सही उत्तर चुनते ही ✅/❌ का निशान और गलत पर सही उत्तर दिख जाएगा।
🧠 Practice Quiz – क्षेत्रमिति (Mensuration)
✅ एक बार उत्तर चुनने के बाद बदला नहीं जा सकता।