📐 ज्यामिति (Geometry)

अध्याय 7: ज्यामिति – Junior School Online
📐 गणित – कक्षा 7 – अध्याय 7

📐 ज्यामिति (Geometry)

इस अध्याय में हम ज्यामिति की मूल अवधारणाओं – बिन्दु, रेखा, तल, रेखाखण्ड, किरण, समान्तर एवं प्रतिच्छेदी रेखाएँ, एक बिन्दुगामी रेखाएँ, तथा खुली एवं बन्द आकृतियों – को विस्तार से सीखेंगे।

📖 अध्याय सामग्री (Chapter Content)

1 📖 भूमिका एवं तल (Plane)

ज्यामिति (Geometry) – यूनानी शब्द 'ज्योमेट्रीन' (भूमि मापन) से बना है। यह आकृतियों, उनके गुणों और मापन का अध्ययन है।

  • बिन्दु (Point) – जिसका कोई भाग नहीं होता।
  • रेखा (Line) – चौड़ाई रहित लम्बाई।
  • तल (Plane) – सपाट सतह जो सभी दिशाओं में असीमित रूप से फैली होती है।

📌 तल के प्रकार: समतल (Flat) – जैसे कागज, दीवार; वक्रतल (Curved) – जैसे गेंद, गोला।

💡 यूक्लिड की परिभाषाएँ

  • बिन्दु – जिसका कोई अंश न हो।
  • रेखा – बिना चौड़ाई की लम्बाई।
  • रेखा के सिरे बिन्दु होते हैं।
2 📍 बिन्दु, रेखा, रेखाखण्ड, किरण
  • रेखा (Line) – दोनों दिशाओं में अनन्त तक फैली हुई सीधी रेखा। इसे AB या छोटे अक्षर l से दर्शाते हैं। इसमें अन्त्य बिन्दु नहीं होते।
  • रेखाखण्ड (Line Segment) – रेखा का एक भाग जिसके दोनों सिरों पर अन्त्य बिन्दु होते हैं। जैसे AB
  • किरण (Ray) – रेखा का वह भाग जो एक बिन्दु (निगमन बिन्दु) से प्रारम्भ होकर एक दिशा में अनन्त तक जाता है। जैसे OP (O निगमन बिन्दु)।

📌 चित्र

रेखा: AB
रेखाखण्ड: AB (दोनों सिरों पर बिन्दु)
किरण: OP (O से प्रारम्भ)

📌 ध्यान दें

  • रेखा का कोई अन्त्य बिन्दु नहीं होता।
  • रेखाखण्ड के दोनों सिरों पर बिन्दु होते हैं।
  • किरण का केवल एक ही अन्त्य बिन्दु (निगमन) होता है।
3 🔗 संरेख बिन्दु (Collinear Points)

संरेख बिन्दु – एक ही रेखा पर स्थित बिन्दु।

📌 उदाहरण

  • तीन बिन्दु A, B, C एक ही रेखा पर → संरेख।
  • तीन बिन्दु P, Q, R में R रेखा PQ पर नहीं → असंरेख।
A B C → संरेख
P Q
R → असंरेख

📌 नियम: तीन या अधिक बिन्दु संरेख कहलाते हैं यदि वे सभी एक ही रेखा पर स्थित हों।

4 🔄 समान्तर एवं प्रतिच्छेदी रेखाएँ

एक ही तल में स्थित दो रेखाएँ या तो प्रतिच्छेदी होती हैं या समान्तर

  • प्रतिच्छेदी रेखाएँ – एक बिन्दु पर मिलती हैं।
  • समान्तर रेखाएँ – कभी नहीं मिलतीं, चाहे कितना भी बढ़ाएँ।

📌 चित्र


→ समान्तर
→ प्रतिच्छेदी

📌 ध्यान दें

  • एक ही तल में दो रेखाएँ या तो समान्तर होती हैं या प्रतिच्छेदी।
  • विभिन्न तलों में स्थित रेखाएँ न तो समान्तर हो सकती हैं और न ही प्रतिच्छेदी (बिना प्रतिच्छेदन के भी)।
5 🎯 एक बिन्दुगामी रेखाएँ (Concurrent Lines)

एक बिन्दुगामी रेखाएँ – वे रेखाएँ जो एक ही बिन्दु से होकर गुजरती हैं।

  • तीन या अधिक रेखाएँ जो एक सामान्य बिन्दु पर मिलती हैं, एक बिन्दुगामी रेखाएँ कहलाती हैं।
  • उस सामान्य बिन्दु को संगमन बिन्दु (Point of Concurrency) कहते हैं।

📌 चित्र

O – संगमन बिन्दु

📌 उदाहरण: एक बिन्दु से अनन्त रेखाएँ खींची जा सकती हैं, लेकिन तीन रेखाएँ एक बिन्दु पर मिलें तो वे एक बिन्दुगामी कहलाती हैं।

6 खुली एवं बन्द आकृतियाँ

खुली आकृति (Open Figure) – जिसके प्रारम्भिक और अन्त्य बिन्दु भिन्न हों।

बन्द आकृति (Closed Figure) – जिसके प्रारम्भिक और अन्त्य बिन्दु सम्पाती हों (एक ही हों)।

📌 उदाहरण

  • खुली: एक सीधी रेखा, किरण, खुला वक्र।
  • बन्द: वृत्त, त्रिभुज, वर्ग, आयत, बन्द वक्र।
खुली: (रेखा)
बन्द: (वृत्त)

📌 अभ्यंतर एवं बाह्य क्षेत्र

बन्द आकृति के अन्दर का क्षेत्र अभ्यंतर (Interior) और बाहर का क्षेत्र बाह्य (Exterior) कहलाता है।

7 📝 अभ्यास 7(a) एवं 7(b) – मुख्य बिन्दु

अभ्यास 7(a) के महत्वपूर्ण प्रश्न:

  • दो बिन्दुओं से होकर एक रेखा खींची जा सकती है।
  • एक रेखा में असंख्य बिन्दु होते हैं।
  • गोले का तल वक्र होता है।
  • एक बिन्दु से असंख्य रेखाएँ खींची जा सकती हैं।
  • तीन असंरेखीय बिन्दुओं से एक समतल खींचा जा सकता है।
  • समतल में दो रेखाएँ हमेशा समान्तर नहीं होतीं (प्रतिच्छेदी भी हो सकती हैं)।

अभ्यास 7(b): रेखा, किरण, रेखाखण्ड के बीच अन्तर समझना।

📌 रेखा और किरण में अन्तर

रेखा – दोनों दिशाओं में अनन्त, कोई अन्त्य बिन्दु नहीं।
किरण – एक दिशा में अनन्त, एक अन्त्य बिन्दु (निगमन) होता है।

8 📊 दक्षता अभ्यास 7 – महत्वपूर्ण तथ्य
  • तीन संरेख बिन्दुओं से होकर एक रेखा गुजरती है।
  • एक बिन्दु से असंख्य रेखाएँ खींची जा सकती हैं।
  • दो बिन्दुओं से एक रेखा खींची जा सकती है।
  • तीन असंरेख बिन्दुओं में से दो-दो को मिलाकर 3 रेखाएँ बनती हैं।
  • चार बिन्दु (कोई तीन संरेख नहीं) से 6 रेखाएँ बनती हैं।
  • पाँच बिन्दु (कोई तीन संरेख नहीं) से 10 रेखाएँ बनती हैं।
  • एक रेखा में असंख्य बिन्दु होते हैं।

📌 सूत्र: यदि n बिन्दु हों और कोई तीन संरेख न हों, तो उनसे बनने वाली रेखाओं की संख्या = n(n-1)/2

🧩 मिलान अभ्यास – 20 Pairs

कॉलम A का कॉलम B से सही मिलान करें – हर पंक्ति में केवल 6 विकल्प दिखेंगे।
सही उत्तर चुनते ही ✅/❌ का निशान और गलत पर सही उत्तर दिख जाएगा।

🧠 Practice Quiz – ज्यामिति

🎯 आपकी प्रगति
स्कोर: 0/0

✅ एक बार उत्तर चुनने के बाद बदला नहीं जा सकता।

📝 हमने सीखा – सारांश

बिन्दु – जिसका कोई भाग नहीं
रेखा – बिना चौड़ाई की लम्बाई, दोनों दिशाओं में अनन्त
रेखाखण्ड – रेखा का भाग, दोनों सिरों पर बिन्दु
किरण – एक निगमन बिन्दु, एक दिशा में अनन्त
समतल – सपाट सतह, सभी दिशाओं में असीमित
वक्रतल – घुमावदार सतह (गोला, बेलन)
संरेख बिन्दु – एक ही रेखा पर स्थित
समान्तर रेखाएँ – कभी नहीं मिलतीं
प्रतिच्छेदी रेखाएँ – एक बिन्दु पर मिलती हैं
एक बिन्दुगामी रेखाएँ – एक ही बिन्दु से गुजरती हैं (संगमन बिन्दु)
खुली आकृति – प्रारम्भ और अन्त भिन्न
बन्द आकृति – प्रारम्भ और अन्त सम्पाती
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