📐 ज्यामिति (Geometry)
इस अध्याय में हम ज्यामिति की मूल अवधारणाओं – बिन्दु, रेखा, तल, रेखाखण्ड, किरण, समान्तर एवं प्रतिच्छेदी रेखाएँ, एक बिन्दुगामी रेखाएँ, तथा खुली एवं बन्द आकृतियों – को विस्तार से सीखेंगे।
📋 Chapter Overview – एक नज़र में
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📖 अध्याय सामग्री (Chapter Content)
ज्यामिति (Geometry) – यूनानी शब्द 'ज्योमेट्रीन' (भूमि मापन) से बना है। यह आकृतियों, उनके गुणों और मापन का अध्ययन है।
- बिन्दु (Point) – जिसका कोई भाग नहीं होता।
- रेखा (Line) – चौड़ाई रहित लम्बाई।
- तल (Plane) – सपाट सतह जो सभी दिशाओं में असीमित रूप से फैली होती है।
📌 तल के प्रकार: समतल (Flat) – जैसे कागज, दीवार; वक्रतल (Curved) – जैसे गेंद, गोला।
💡 यूक्लिड की परिभाषाएँ
- बिन्दु – जिसका कोई अंश न हो।
- रेखा – बिना चौड़ाई की लम्बाई।
- रेखा के सिरे बिन्दु होते हैं।
- रेखा (Line) – दोनों दिशाओं में अनन्त तक फैली हुई सीधी रेखा। इसे AB या छोटे अक्षर l से दर्शाते हैं। इसमें अन्त्य बिन्दु नहीं होते।
- रेखाखण्ड (Line Segment) – रेखा का एक भाग जिसके दोनों सिरों पर अन्त्य बिन्दु होते हैं। जैसे AB।
- किरण (Ray) – रेखा का वह भाग जो एक बिन्दु (निगमन बिन्दु) से प्रारम्भ होकर एक दिशा में अनन्त तक जाता है। जैसे OP (O निगमन बिन्दु)।
📌 चित्र
📌 ध्यान दें
- रेखा का कोई अन्त्य बिन्दु नहीं होता।
- रेखाखण्ड के दोनों सिरों पर बिन्दु होते हैं।
- किरण का केवल एक ही अन्त्य बिन्दु (निगमन) होता है।
संरेख बिन्दु – एक ही रेखा पर स्थित बिन्दु।
📌 उदाहरण
- तीन बिन्दु A, B, C एक ही रेखा पर → संरेख।
- तीन बिन्दु P, Q, R में R रेखा PQ पर नहीं → असंरेख।
R → असंरेख
📌 नियम: तीन या अधिक बिन्दु संरेख कहलाते हैं यदि वे सभी एक ही रेखा पर स्थित हों।
एक ही तल में स्थित दो रेखाएँ या तो प्रतिच्छेदी होती हैं या समान्तर।
- प्रतिच्छेदी रेखाएँ – एक बिन्दु पर मिलती हैं।
- समान्तर रेखाएँ – कभी नहीं मिलतीं, चाहे कितना भी बढ़ाएँ।
📌 चित्र
→ समान्तर
📌 ध्यान दें
- एक ही तल में दो रेखाएँ या तो समान्तर होती हैं या प्रतिच्छेदी।
- विभिन्न तलों में स्थित रेखाएँ न तो समान्तर हो सकती हैं और न ही प्रतिच्छेदी (बिना प्रतिच्छेदन के भी)।
एक बिन्दुगामी रेखाएँ – वे रेखाएँ जो एक ही बिन्दु से होकर गुजरती हैं।
- तीन या अधिक रेखाएँ जो एक सामान्य बिन्दु पर मिलती हैं, एक बिन्दुगामी रेखाएँ कहलाती हैं।
- उस सामान्य बिन्दु को संगमन बिन्दु (Point of Concurrency) कहते हैं।
📌 चित्र
📌 उदाहरण: एक बिन्दु से अनन्त रेखाएँ खींची जा सकती हैं, लेकिन तीन रेखाएँ एक बिन्दु पर मिलें तो वे एक बिन्दुगामी कहलाती हैं।
खुली आकृति (Open Figure) – जिसके प्रारम्भिक और अन्त्य बिन्दु भिन्न हों।
बन्द आकृति (Closed Figure) – जिसके प्रारम्भिक और अन्त्य बिन्दु सम्पाती हों (एक ही हों)।
📌 उदाहरण
- खुली: एक सीधी रेखा, किरण, खुला वक्र।
- बन्द: वृत्त, त्रिभुज, वर्ग, आयत, बन्द वक्र।
📌 अभ्यंतर एवं बाह्य क्षेत्र
बन्द आकृति के अन्दर का क्षेत्र अभ्यंतर (Interior) और बाहर का क्षेत्र बाह्य (Exterior) कहलाता है।
अभ्यास 7(a) के महत्वपूर्ण प्रश्न:
- दो बिन्दुओं से होकर एक रेखा खींची जा सकती है।
- एक रेखा में असंख्य बिन्दु होते हैं।
- गोले का तल वक्र होता है।
- एक बिन्दु से असंख्य रेखाएँ खींची जा सकती हैं।
- तीन असंरेखीय बिन्दुओं से एक समतल खींचा जा सकता है।
- समतल में दो रेखाएँ हमेशा समान्तर नहीं होतीं (प्रतिच्छेदी भी हो सकती हैं)।
अभ्यास 7(b): रेखा, किरण, रेखाखण्ड के बीच अन्तर समझना।
📌 रेखा और किरण में अन्तर
रेखा – दोनों दिशाओं में अनन्त, कोई अन्त्य बिन्दु नहीं।
किरण – एक दिशा में अनन्त, एक अन्त्य बिन्दु (निगमन) होता है।
- तीन संरेख बिन्दुओं से होकर एक रेखा गुजरती है।
- एक बिन्दु से असंख्य रेखाएँ खींची जा सकती हैं।
- दो बिन्दुओं से एक रेखा खींची जा सकती है।
- तीन असंरेख बिन्दुओं में से दो-दो को मिलाकर 3 रेखाएँ बनती हैं।
- चार बिन्दु (कोई तीन संरेख नहीं) से 6 रेखाएँ बनती हैं।
- पाँच बिन्दु (कोई तीन संरेख नहीं) से 10 रेखाएँ बनती हैं।
- एक रेखा में असंख्य बिन्दु होते हैं।
📌 सूत्र: यदि n बिन्दु हों और कोई तीन संरेख न हों, तो उनसे बनने वाली रेखाओं की संख्या = n(n-1)/2
🧩 मिलान अभ्यास – 20 Pairs
कॉलम A का कॉलम B से सही मिलान करें – हर पंक्ति में केवल 6 विकल्प दिखेंगे।
सही उत्तर चुनते ही ✅/❌ का निशान और गलत पर सही उत्तर दिख जाएगा।
🧠 Practice Quiz – ज्यामिति
✅ एक बार उत्तर चुनने के बाद बदला नहीं जा सकता।