🧮 बीजीय व्यंजक (Algebraic Expressions)
इस अध्याय में हम बीजीय व्यंजकों की अवधारणा, पद, गुणांक, सजातीय एवं विजातीय पद, एकपदी, द्विपद, त्रिपद व्यंजक, योग-घटाव, मान ज्ञात करना तथा कोष्ठकों का प्रयोग सीखेंगे।
📋 Chapter Overview – एक नज़र में
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📖 अध्याय सामग्री (Chapter Content)
बीजीय व्यंजक (Algebraic Expression) – चरों, अचरों और मूल संक्रियाओं (+, −, ×, ÷) से बना समूह।
- 🔹 चर (Variable) – जिसका मान बदलता है (x, y, z, a, b, c आदि)।
- 🔹 अचर (Constant) – जिसका मान स्थिर रहता है (2, 3, 5, −7 आदि)।
- 🔹 उदाहरण: 5x + 3 – यहाँ 5x और 3 पद हैं; x चर है, 5 और 3 अचर हैं।
📌 बीजीय व्यंजक कैसे बनते हैं?
• x + 5 → x और 5 का योग
• x − 12 → x में से 12 घटाना
• 2x → 2 और x का गुणा
• x/4 → x को 4 से भाग देना
💡 प्राचीन भारत में बीजगणित
प्राचीन भारतीय गणितज्ञों – आर्यभट्ट, ब्रह्मगुप्त, भास्कराचार्य आदि ने बीजगणित में महत्वपूर्ण योगदान दिया। 'बीजगणित' शब्द 'बीज' (अज्ञात राशि) और 'गणित' से बना है।
पद (Term) – किसी व्यंजक का वह भाग जो + या − चिह्न से अलग होता है।
- गुणनखंड (Factors) – किसी पद के वे भाग जिन्हें आपस में गुणा करने पर पद प्राप्त होता है।
📌 उदाहरण
व्यंजक 5x² + 7xy − 1 के पद हैं: 5x², 7xy, −1
- 5x² के गुणनखंड → 5, x, x
- 7xy के गुणनखंड → 7, x, y
- −1 → अचर पद
🌳 पेड़ आरेख (Tree Diagram)
व्यंजक 5p²q − 4pq² + 7 का पेड़ आरेख – पदों और गुणनखंडों को दर्शाने की विधि।
↓
5 × p × p × q
↓
−4 × p × q × q
↓
7 (अचर)
गुणांक (Coefficient) – किसी पद में संख्यात्मक गुणनखंड को गुणांक कहते हैं।
- 5xy में xy का गुणांक 5 है।
- 7xyz में xyz का गुणांक 7 है।
- −8xy² में xy² का गुणांक −8 है।
- +1x को x लिखते हैं, −1x को −x लिखते हैं।
📌 ध्यान दें
- 5y में x का गुणांक 5 है।
- 5x में y का गुणांक 5 है।
- 10xy² में xy² का गुणांक 10 है, x का गुणांक 10y² है, y² का गुणांक 10x है।
सजातीय पद (Like Terms) – जिन पदों के बीजीय गुणनखंड समान होते हैं।
विजातीय पद (Unlike Terms) – जिन पदों के बीजीय गुणनखंड भिन्न होते हैं।
📌 उदाहरण
- सजातीय: 2xy और 5xy (दोनों में xy समान)
- विजातीय: 2xy और −3x (xy ≠ x)
- सजातीय: 6pq² और −4pq² (pq² समान)
- विजातीय: 6pq² और 7p²q (pq² ≠ p²q)
📌 नियम: सजातीय पदों को जोड़ा/घटाया जा सकता है। विजातीय पदों को नहीं जोड़ा/घटाया जा सकता।
| युग्म | प्रकार |
|---|---|
| 6x, 7y | विजातीय |
| 13x, −7x | सजातीय |
| −5ab, 7ba | सजातीय (ab = ba) |
| 3x, 6xy | विजातीय |
- एकपदी (Monomial) – एक पद वाला व्यंजक, जैसे 5x, 7xy, 4x², 9
- द्विपद (Binomial) – दो पद वाला व्यंजक, जैसे 3x + 2y, x − 5, xy + 4x
- त्रिपद (Trinomial) – तीन पद वाला व्यंजक, जैसे x² + 2xy + y², 5x² + 7x − 3
📌 डिग्री (Degree)
किसी व्यंजक में चर की उच्चतम ऋणेतर घात को डिग्री कहते हैं।
जैसे: 3x² + 5x + 1 की डिग्री 2 है।
📝 अभ्यास
व्यंजकों को पहचानें:
• 5x → एकपदी
• x² + y² → द्विपद
• x² + xy + y² → त्रिपद
नियम: केवल सजातीय पदों को ही जोड़ा या घटाया जा सकता है।
📌 उदाहरण – योग
3x² + 5x + 7y और 2x − 5y को जोड़ें:
= 3x² + 5x + 2x + 7y − 5y = 3x² + 7x + 2y
📌 उदाहरण – घटाव
4x − y + 5 में से x − y घटाएं:
= 4x − y + 5 − (x − y) = 4x − y + 5 − x + y = 3x + 5
ध्यान दें: −(x − y) = −x + y (चिह्न परिवर्तन)
📌 सरलीकरण: व्यंजक 5x² + 7xy + 8z + 3xy − 7x² − 2xy − 6z − 10 को सरल करें:
= (5−7)x² + (7+3−2)xy + (8−6)z − 10 = −2x² + 8xy + 2z − 10
कोष्ठकों के प्रकार:
- रेखा कोष्ठक – _______ (ओवरलाइन)
- छोटा कोष्ठक – ( ) Parentheses
- मझला कोष्ठक – { } Braces
- बड़ा कोष्ठक – [ ] Square Brackets
📌 कोष्ठक खोलने के नियम
- यदि कोष्ठक के पहले '+' हो → चिह्न नहीं बदलते।
- यदि कोष्ठक के पहले '−' हो → चिह्न बदल जाते हैं (+ → −, − → +)।
📌 उदाहरण
5x + (2x − 3) = 5x + 2x − 3 = 7x − 3
a − (b + 2a) = a − b − 2a = −a − b
(a+b+c) − (a+b−c) = a+b+c−a−b+c = 2c
📌 कोष्ठकों का क्रम
सबसे भीतर वाले कोष्ठक को पहले खोलें:
[ { ( ) } ] → पहले ( ), फिर { }, फिर [ ]
🧩 मिलान अभ्यास – 20 Pairs
कॉलम A का कॉलम B से सही मिलान करें – हर पंक्ति में केवल 6 विकल्प दिखेंगे।
सही उत्तर चुनते ही ✅/❌ का निशान और गलत पर सही उत्तर दिख जाएगा।
🧠 Practice Quiz – बीजीय व्यंजक
✅ एक बार उत्तर चुनने के बाद बदला नहीं जा सकता।