🎯 Learning Objectives
इस अध्याय को पूरा करने के बाद विद्यार्थी—
पूर्णांकों को समझ सकेंगे और पहचान सकेंगे।
संख्या रेखा पर पूर्णांकों को प्रदर्शित कर सकेंगे।
पूर्णांकों का योग, घटाना, गुणा और भाग कर सकेंगे।
पूर्णांकों के सभी गुण (संवरक, क्रम-विनिमेय, साहचर्य, वितरण) समझ सकेंगे।
पूर्णांकों की तुलना कर सकेंगे और निरपेक्ष मान ज्ञात कर सकेंगे।
वास्तविक जीवन में पूर्णांकों के उपयोग को समझ सकेंगे।
🧭 Chapter Roadmap
इस अध्याय में हम निम्न Topics Step by Step पढ़ेंगे। (किसी भी टॉपिक पर क्लिक करें)
📖 Introduction (परिचय)
हमने अब तक प्राकृतिक संख्याएँ (1, 2, 3, ...) और पूर्ण संख्याएँ (0, 1, 2, 3, ...) सीखी हैं। लेकिन क्या होगा जब हमें 2 में से 5 घटाना हो? क्या होगा जब तापमान 0°C से नीचे चला जाए? क्या होगा जब हमें भूतल से नीचे के तलों को दर्शाना हो?
🤔 विचार करें
क्या कोई ऐसी संख्या है जो शून्य से छोटी हो? क्या आप ऐसी किसी वस्तु के 0 से कम होने का कोई तरीका सोच सकते हैं?
इन सभी स्थितियों के लिए हमें ऋणात्मक संख्याओं की आवश्यकता पड़ती है। ऋणात्मक संख्याएँ वे संख्याएँ हैं जो शून्य से छोटी होती हैं और उन्हें एक '-' (ऋण) चिह्न के साथ लिखा जाता है। शून्य (0) सहित धनात्मक और ऋणात्मक संख्याओं के समूह को पूर्णांक (Integers) कहते हैं।
📌 पूर्णांक क्या हैं?
..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...
धनात्मक पूर्णांक: 1, 2, 3, ... (प्राकृतिक संख्याएँ)
ऋणात्मक पूर्णांक: -1, -2, -3, ...
शून्य (0) न तो धनात्मक है और न ही ऋणात्मक।
💡 Need for Integers (पूर्णांकों की आवश्यकता)
🏦 लेन-देन (Banking)
जमा → धनात्मक (+), निकासी → ऋणात्मक (-)
₹100 जमा = +100, ₹50 निकासी = -50
🌡️ तापमान (Temperature)
शून्य से ऊपर → धनात्मक (+), शून्य से नीचे → ऋणात्मक (-)
25°C = +25, -5°C = -5
🏗️ भूतल से ऊपर/नीचे
भूतल से ऊपर → धनात्मक (+), नीचे → ऋणात्मक (-)
5वीं मंजिल = +5, 3 तल नीचे = -3
📈 लाभ-हानि (Profit-Loss)
लाभ → धनात्मक (+), हानि → ऋणात्मक (-)
₹200 लाभ = +200, ₹100 हानि = -100
📌 बेला की मजेदार इमारत
बेला की इमारत में भूतल (Ground Floor) को 0 दर्शाया गया है।
भूतल से ऊपर के तल → +1, +2, +3... (धनात्मक)
भूतल से नीचे के तल → -1, -2, -3... (ऋणात्मक)
📈 Number Line (संख्या रेखा)
संख्या रेखा पर पूर्णांकों को इस प्रकार प्रदर्शित किया जाता है:
संख्या रेखा पर दायी ओर की संख्याएँ बायी ओर की संख्याओं से बड़ी होती हैं।
संख्या रेखा पर बायी ओर की संख्याएँ दायी ओर की संख्याओं से छोटी होती हैं।
📌 याद रखें: ... < -3 < -2 < -1 < 0 < +1 < +2 < +3 < ...
छोटी संख्याएँ, बड़ी संख्याओं के बाईं ओर होती हैं।
🎯 Absolute Value (निरपेक्ष मान)
किसी पूर्णांक का निरपेक्ष मान (Absolute Value) शून्य से उसकी दूरी होती है। इसे |x| से दर्शाते हैं।
📌 उदाहरण:
- |5| = 5 (क्योंकि 5 की 0 से दूरी 5 है)
- |-5| = 5 (क्योंकि -5 की 0 से दूरी भी 5 है)
- |0| = 0
- |-12| = 12 और |12| = 12
📌 निष्कर्ष: किसी संख्या का निरपेक्ष मान सदैव धनात्मक या शून्य होता है। यह कभी ऋणात्मक नहीं होता।
➕ Addition of Integers (पूर्णांकों का योग)
(i) समान चिह्नों वाले पूर्णांक
- (+5) + (+3) = +8 (दोनों धनात्मक → धनात्मक)
- (-5) + (-3) = -8 (दोनों ऋणात्मक → ऋणात्मक)
(ii) भिन्न चिह्नों वाले पूर्णांक
- (+5) + (-3) = +2 (बड़ी संख्या 5 का चिह्न +)
- (-5) + (+3) = -2 (बड़ी संख्या 5 का चिह्न -)
📌 ब्रह्मगुप्त के नियम (628 ई.)
- ✔ दो धनात्मकों का योग = धनात्मक
- ✔ दो ऋणात्मकों का योग = ऋणात्मक
- ✔ एक धनात्मक + एक ऋणात्मक = बड़ी संख्या का चिह्न
- ✔ संख्या + उसका योज्य प्रतिलोम = 0
(iii) योज्य प्रतिलोम (Additive Inverse)
दो संख्याएँ जिनका योग 0 होता है, एक दूसरे के योज्य प्रतिलोम कहलाती हैं।
- 5 का योज्य प्रतिलोम = -5 (क्योंकि 5 + (-5) = 0)
- -7 का योज्य प्रतिलोम = +7 (क्योंकि -7 + 7 = 0)
- 0 का योज्य प्रतिलोम = 0
➖ Subtraction of Integers (पूर्णांकों का घटाना)
पूर्णांकों को घटाने का सबसे आसान तरीका – घटाना = योज्य प्रतिलोम जोड़ना
📌 नियम: a - b = a + (-b)
अर्थात किसी संख्या को घटाना = उसका योज्य प्रतिलोम जोड़ना।
📌 उदाहरण:
- (+5) - (+3) = 5 - 3 = 2 या 5 + (-3) = 2
- (-5) - (-3) = -5 + 3 = -2
- (+5) - (-3) = 5 + 3 = 8
- (-5) - (+3) = -5 - 3 = -8
📌 ध्यान दें: घटाना पूर्णांकों के लिए क्रम-विनिमेय नहीं है।
(5 - 3 ≠ 3 - 5) क्योंकि 2 ≠ -2
✖️ Multiplication of Integers (पूर्णांकों का गुणा)
धनात्मक × धनात्मक
(+3) × (+5) = +15
गुणनफल धनात्मक
धनात्मक × ऋणात्मक
(+3) × (-5) = -15
गुणनफल ऋणात्मक
ऋणात्मक × धनात्मक
(-3) × (+5) = -15
गुणनफल ऋणात्मक
ऋणात्मक × ऋणात्मक
(-3) × (-5) = +15
गुणनफल धनात्मक
📌 गुणा के चिह्न नियम
| चिह्न 1 | चिह्न 2 | गुणनफल का चिह्न |
|---|---|---|
| + | + | + |
| + | - | - |
| - | + | - |
| - | - | + |
➗ Division of Integers (पूर्णांकों का भाग)
धनात्मक ÷ धनात्मक
(+15) ÷ (+3) = +5
भागफल धनात्मक
धनात्मक ÷ ऋणात्मक
(+15) ÷ (-3) = -5
भागफल ऋणात्मक
ऋणात्मक ÷ धनात्मक
(-15) ÷ (+3) = -5
भागफल ऋणात्मक
ऋणात्मक ÷ ऋणात्मक
(-15) ÷ (-3) = +5
भागफल धनात्मक
📌 भाग के महत्वपूर्ण नियम
- ✔ किसी पूर्णांक को 1 से भाग देने पर वही संख्या प्राप्त होती है। (a ÷ 1 = a)
- ✔ किसी पूर्णांक को (-1) से भाग देने पर योज्य प्रतिलोम प्राप्त होता है। (a ÷ -1 = -a)
- ✔ किसी पूर्णांक को 0 से भाग देना परिभाषित नहीं है।
- ✔ 0 को किसी शून्येतर पूर्णांक से भाग देने पर 0 प्राप्त होता है।
📊 Properties of Integers (पूर्णांकों के गुण)
📌 संवरक (Closure)
दो पूर्णांकों का योग, अंतर और गुणनफल सदैव पूर्णांक होता है।
भाग संवरक नहीं है।
📌 क्रम-विनिमेय (Commutative)
a + b = b + a, a × b = b × a
घटाना और भाग क्रम-विनिमेय नहीं हैं।
📌 साहचर्य (Associative)
(a+b)+c = a+(b+c), (a×b)×c = a×(b×c)
घटाना और भाग साहचर्य नहीं हैं।
📌 तत्समक (Identity)
योग तत्समक = 0, गुणन तत्समक = 1
a + 0 = a, a × 1 = a
📌 वितरण (Distributive)
a × (b + c) = a×b + a×c
a × (b − c) = a×b − a×c
📌 शून्य गुणन
a × 0 = 0 × a = 0
किसी भी संख्या को 0 से गुणा करने पर 0 प्राप्त होता है।
📌 BODMAS नियम
B = Brackets (कोष्ठक) → O = Of (का) → D = Division (भाग) → M = Multiplication (गुणा) → A = Addition (योग) → S = Subtraction (घटाना)
कोष्ठकों के सरलीकरण के लिए: ( ) → { } → [ ]
🧠 Practice Quiz – पूर्णांक
अपने ज्ञान को परखें! नीचे दिए गए 25 प्रश्नों के उत्तर चुनें – सही/गलत तुरंत दिखेगा, विस्तृत हल भी मिलेगा।
✅ एक बार उत्तर चुनने के बाद बदला नहीं जा सकता। सभी 25 प्रश्नों के उत्तर देने पर परिणाम स्वतः शीर्ष पर दिखेगा।