📚 कक्षा 8 · गणित · अध्याय 2
वर्ग एवं वर्गमूल
इस अध्याय में हम वर्ग और वर्गमूल की संकल्पना, पूर्ण वर्ग संख्याएँ, गुणनखंड विधि, भाग विधि, दशमलव संख्याओं के वर्गमूल, तथा अपूर्णांक संख्याओं के वर्गमूल के बारे में विस्तार से जानेंगे।
📋 Chapter Overview – एक नज़र में
1
भूमिका – वर्ग एवं वर्गमूल की संकल्पना
▼
वर्ग (Square): किसी संख्या को उसी संख्या से गुणा करने पर प्राप्त गुणनफल को उस संख्या का वर्ग कहते हैं।
- नियम: a × a = a² — a का वर्ग a² होता है।
- उदाहरण: 5 × 5 = 25 → 5² = 25; 6 × 6 = 36 → 6² = 36
- घात 2: किसी संख्या की घात 2 को उस संख्या का वर्ग कहते हैं।
वर्गमूल (Square Root): किसी संख्या का वर्गमूल वह संख्या है, जिसे स्वयं से गुणा करने पर दी गई संख्या प्राप्त होती है।
- नियम: यदि a² = b, तो √b = ±a
- उदाहरण: 25 = 5² → √25 = ±5; 36 = 6² → √36 = ±6
- प्रयोग: वर्ग का क्षेत्रफल ज्ञात होने पर भुजा की माप ज्ञात करने में वर्गमूल की आवश्यकता होती है।
3 × 3 = 9
3² = 9
4 × 4 = 16
4² = 16
वर्ग – समान भुजाओं वाली आकृति
🔢 वर्ग: a × a = a² — वर्गमूल: √a² = ±a — दैनिक जीवन में महत्वपूर्ण।
2
पूर्ण वर्ग संख्या – पहचान एवं परीक्षण
▼
पूर्ण वर्ग संख्या (Perfect Square): वह संख्या जो किसी प्राकृतिक संख्या के वर्ग के बराबर हो — जैसे 1, 4, 9, 16, 25, 36, ...
| संख्या (a) | वर्ग (a²) | पूर्ण वर्ग |
|---|---|---|
| 1 | 1 | ✅ |
| 2 | 4 | ✅ |
| 3 | 9 | ✅ |
| 4 | 16 | ✅ |
| 5 | 25 | ✅ |
| 6 | 36 | ✅ |
| 7 | 49 | ✅ |
| 8 | 64 | ✅ |
| 9 | 81 | ✅ |
| 10 | 100 | ✅ |
🔹 पूर्ण वर्ग संख्या का परीक्षण (गुणनखंड विधि)
- किसी संख्या के अभाज्य गुणनखंड ज्ञात करें।
- यदि सभी अभाज्य गुणनखंडों के जोड़े बन जाते हैं, तो वह संख्या पूर्ण वर्ग होती है।
- उदाहरण: 225 = 3 × 3 × 5 × 5 = 3² × 5² = (3 × 5)² = 15² → पूर्ण वर्ग ✅
- उदाहरण: 180 = 2 × 2 × 3 × 3 × 5 → 5 का जोड़ा नहीं → पूर्ण वर्ग नहीं ❌
💡 उदाहरण: 225 को अभाज्य गुणनखंडों में व्यक्त करें
225 = 3 × 75
= 3 × 3 × 25
= 3 × 3 × 5 × 5
= 3² × 5² = (3 × 5)² = 15²
∴ 225 = 15² (पूर्ण वर्ग)
= 3 × 3 × 25
= 3 × 3 × 5 × 5
= 3² × 5² = (3 × 5)² = 15²
∴ 225 = 15² (पूर्ण वर्ग)
🔹 सम और विषम संख्याओं के वर्गों की विशेषता
- सम संख्या का वर्ग → सम संख्या — 2²=4, 4²=16, 6²=36
- विषम संख्या का वर्ग → विषम संख्या — 3²=9, 5²=25, 7²=49
✅ पूर्ण वर्ग: अभाज्य गुणनखंडों के सभी जोड़े बनते हैं — सम संख्या का वर्ग सम, विषम का विषम।
3
गुणनखंड विधि से वर्गमूल ज्ञात करना
▼
🔹 गुणनखंड विधि के चरण
- Step 1: संख्या के अभाज्य गुणनखंड (Prime Factors) ज्ञात करें।
- Step 2: समान गुणनखंडों के जोड़े (Pairs) बनाएँ।
- Step 3: प्रत्येक जोड़े में से एक-एक गुणनखंड चुनें।
- Step 4: चुने हुए गुणनखंडों का गुणनफल = धनात्मक वर्गमूल।
- Step 5: चिह्न बदलकर ऋणात्मक वर्गमूल भी प्राप्त करें — √x² = ±x
💡 उदाहरण: 36 का वर्गमूल गुणनखंड विधि से ज्ञात कीजिए
36 = 2 × 2 × 3 × 3
= 2² × 3² = (2 × 3)² = 6²
∴ √36 = ±6
= 2² × 3² = (2 × 3)² = 6²
∴ √36 = ±6
💡 उदाहरण: 144 का वर्गमूल गुणनखंड विधि से ज्ञात कीजिए
144 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3
= 2⁴ × 3² = (2² × 3)² = (4 × 3)² = 12²
∴ √144 = ±12
= 2⁴ × 3² = (2² × 3)² = (4 × 3)² = 12²
∴ √144 = ±12
🔹 गुणनफल एवं भागफल का वर्गमूल
- नियम 1: √(a × b) = √a × √b
- नियम 2: √(a ÷ b) = √a ÷ √b (जब b ≠ 0)
💡 उदाहरण: 256/441 का वर्गमूल ज्ञात कीजिए
√(256/441) = √256 / √441
256 = 2⁸ = 16² → √256 = 16
441 = 3² × 7² = 21² → √441 = 21
∴ √(256/441) = ±16/21
256 = 2⁸ = 16² → √256 = 16
441 = 3² × 7² = 21² → √441 = 21
∴ √(256/441) = ±16/21
🔬 गुणनखंड विधि: अभाज्य गुणनखंड → जोड़े → एक-एक चुनें → गुणा करें → ± चिह्न लगाएँ।
4
भाग विधि से वर्गमूल ज्ञात करना
▼
भाग विधि (Division Method): उन संख्याओं के वर्गमूल ज्ञात करने के लिए जिनके गुणनखंड सरलता से नहीं ज्ञात किए जा सकते या जो पूर्ण वर्ग नहीं हैं।
🔹 भाग विधि के चरण
- Step 1: इकाई अंक से प्रारम्भ करके अंकों के जोड़े (Pairs) बनाएँ।
- Step 2: सबसे बाएँ जोड़े के बराबर या उससे कम सबसे बड़ा वर्ग चुनें।
- Step 3: उस संख्या को भागफल (Quotient) में लिखें और उसके वर्ग को घटाएँ।
- Step 4: शेषफल के आगे अगला जोड़ा उतारें (Bring down)।
- Step 5: भागफल का दूना (Double) करके नया भाजक बनाएँ।
- Step 6: भाजक के साथ उपयुक्त अंक जोड़कर भाग दें — दोहराएँ।
💡 उदाहरण: 1849 का धनात्मक वर्गमूल भाग विधि से ज्ञात कीजिए
| √1849 | |
| ↓ | |
| 4 | 18 49 |
| 4²=16 | -16 |
| 2 | |
| 4×2=8 → 83 | 249 |
| 83×3=249 | -249 |
| 0 |
∴ √1849 = 43
💡 उदाहरण: 11449 का धनात्मक वर्गमूल भाग विधि से ज्ञात कीजिए
| 1 | 1 14 49 |
| 1²=1 | -1 |
| 0 | |
| 1×2=2 → 20 | 14 49 |
| 20×0=0 | -0 |
| 14 | |
| 10×2=20 → 207 | 1449 |
| 207×7=1449 | -1449 |
| 0 |
∴ √11449 = 107
➗ भाग विधि: जोड़े बनाएँ → भाजक → भागफल → दोहराएँ — बड़ी संख्याओं के लिए उपयुक्त।
5
दशमलव संख्याओं का वर्गमूल
▼
दशमलव संख्याओं के वर्गमूल ज्ञात करने के नियम:
- पूर्ण वर्ग दशमलव संख्या: दशमलव के बाद अंकों की संख्या सम होती है — जैसे 4.6225 (4 अंक)।
- वर्गमूल में दशमलव अंक: मूल संख्या में दशमलव अंकों की आधी संख्या।
- यदि दशमलव अंकों की संख्या विषम है, तो सबसे दायीं ओर शून्य बढ़ाकर सम करें।
💡 उदाहरण: 4.6225 का धनात्मक वर्गमूल ज्ञात कीजिए
पूर्णांक भाग: 4 → √4 = 2
दशमलव भाग: 6225 → √6225 = 79 (भाग विधि से)
∴ √4.6225 = 2.15
दशमलव भाग: 6225 → √6225 = 79 (भाग विधि से)
∴ √4.6225 = 2.15
(जाँच: 2.15 × 2.15 = 4.6225 ✅)
💡 उदाहरण: 0.00053361 का वर्गमूल ज्ञात कीजिए
√0.00053361 = 0.0231
(0.0231 × 0.0231 = 0.00053361 ✅)
🔟 दशमलव वर्गमूल: दशमलव अंकों की संख्या सम हो — विषम होने पर शून्य बढ़ाएँ।
6
अपूर्णांक संख्याएँ – वर्गमूल एवं अपरिमेय संख्याएँ
▼
अपूर्णांक संख्या (Non-perfect Square): वह संख्या जो किसी परिमेय संख्या का पूर्ण वर्ग नहीं है — इनका वर्गमूल अपरिमेय (Irrational) होता है।
- अपरिमेय संख्या (Irrational Number): वह वास्तविक संख्या जो परिमेय नहीं है — जैसे √2, √3, √5, π
- इन्हें भाग विधि से दशमलव के निकटतम स्थानों तक ज्ञात किया जा सकता है।
- निकटतम मान: √2 ≈ 1.414, √3 ≈ 1.732, √5 ≈ 2.236
💡 उदाहरण: √2 का मान दशमलव के निकटतम तीन स्थानों तक ज्ञात कीजिए
√2 = 1.414 (3 दशमलव स्थानों तक)
(1.414 × 1.414 = 1.999396 ≈ 2)
💡 उदाहरण: 10⅔ का धनात्मक वर्गमूल ज्ञात कीजिए
10⅔ = 32/3 = 10.666...
√(10⅔) ≈ 3.266
√(10⅔) ≈ 3.266
🔹 √2, √3, √5 के मान
√2
1.414
√3
1.732
√5
2.236
♾️ अपरिमेय संख्याएँ: √2, √3, √5 — दशमलव में सांत (Terminating) नहीं होतीं — भाग विधि से निकटतम मान ज्ञात करते हैं।
7
अभ्यास 2(a) – प्रश्न एवं हल
▼
🔹 प्रश्न 1 – 1 से 15 के बीच की सभी विषम संख्याओं के वर्ग
1² = 1
3² = 9
5² = 25
7² = 49
9² = 81
11² = 121
13² = 169
15² = 225
🔹 प्रश्न 2 – निम्नांकित के मान
(i) 56² = 3136
(ii) 65² = 4225
🔹 प्रश्न 3 – परिमेय संख्याओं के वर्ग
(i) (-5)² = 25
(ii) (13)² = 169
(iii) (-6/17)² = 36/289
8
अभ्यास 2(b) – प्रश्न एवं हल
▼
🔹 प्रश्न 1 – गुणनखंड विधि से वर्गमूल
(i) 7744 = ±88
(ii) 11664 = ±108
(iii) 4900 = ±70
(iv) 47089 = ±217
🔹 प्रश्न 2 – धनात्मक वर्गमूल
(i) 625/1296 = 25/36
(ii) 529/196 = 23/14
(iii) 429/49 = √(429/49) = (√429)/7
🔹 प्रश्न 3–7 – शब्दात्मक समस्याएँ
प्रश्न 3: √2304 = 48 पंक्तियाँ
प्रश्न 4: √6561 = 81 सैनिक
प्रश्न 5: √(8160-60) = √8100 = 90 जवान
प्रश्न 6: 1890 = 2 × 3³ × 5 × 7 → 3 का जोड़ा नहीं → 210
प्रश्न 7: 9408 में 3 से भाग देने पर पूर्ण वर्ग
9
अभ्यास 2(c) – प्रश्न एवं हल
▼
🔹 प्रश्न 1 – भाग विधि से वर्गमूल
(i) 4489 = ±67
(ii) 27225 = ±165
(iii) 49284 = ±222
🔹 प्रश्न 2–6 – शब्दात्मक समस्याएँ
प्रश्न 2: 361/625 = (19/25)² → √ = 19/25
प्रश्न 3: 110 (12100 का √)
प्रश्न 4: 40 (1600 का √)
प्रश्न 5: 316² = 99856 → 99856
प्रश्न 6: 15² = 225 → 225 × 2 = 250
10
अभ्यास 2(d) – प्रश्न एवं हल
▼
🔹 बहुविकल्पीय प्रश्न
प्रश्न 1: 144 का वर्गमूल — (iii) 12
प्रश्न 2: 10404 का वर्गमूल — (i) 102
प्रश्न 3: 3136 का वर्गमूल — (iv) 56
प्रश्न 4: 5 अंकों की संख्या का वर्गमूल — (iii) 3 अंक
🔹 प्रश्न 5 – वर्गमूल में अंकों की संख्या
(i) 625 → 3 अंक, विषम → (3+1)/2 = 2
(ii) 9025 → 4 अंक, सम → 4/2 = 2
(iii) 2304 → 4 अंक, सम → 4/2 = 2
(iv) 65025 → 5 अंक, विषम → (5+1)/2 = 3
(v) 390625 → 6 अंक, सम → 6/2 = 3
11
अभ्यास 2(e) – प्रश्न एवं हल
▼
🔹 प्रश्न 1 – दशमलव संख्याओं के वर्गमूल
(i) 84.8241 = 9.21
(ii) 150.0625 = 12.25
(iii) 477.4225 = 21.85
(iv) 225.6004 = 15.02
(v) 0.00008281 = 0.0091
🔹 प्रश्न 2 – निकटतम तीन स्थानों तक
(i) √1.7 = 1.304
(ii) √23.1 = 4.806
(iii) √5 = 2.236
(iv) √237.615 = 15.415
(v) √0.016 = 0.126
🔹 प्रश्न 3–6 – शब्दात्मक
प्रश्न 3: 5/12 = 0.4166 → √ = 0.645
प्रश्न 4: √1227.8016 = 35.04
प्रश्न 5: √0.00037636 = 0.0194 मी = 1.94 सेमी
प्रश्न 6: √8 = 2√2 = 2 × 1.4142 = 2.828
12
दक्षता अभ्यास – प्रश्न एवं हल
▼
प्रश्न 1: 5400 पूर्ण वर्ग?
नहीं (5400 = 2³ × 3³ × 5² → 2 और 3 के जोड़े नहीं)
नहीं (5400 = 2³ × 3³ × 5² → 2 और 3 के जोड़े नहीं)
प्रश्न 2: √(41² − 40²)
9 (1681 − 1600 = 81 → √81 = 9)
9 (1681 − 1600 = 81 → √81 = 9)
प्रश्न 3: √(5² + 5²) = 5√2
√(5² + 12²) = 13
30² + √900 = 930
√400 + √0.04 + √0.000004 = 20.202
√(5² + 12²) = 13
30² + √900 = 930
√400 + √0.04 + √0.000004 = 20.202
प्रश्न 9: 16, 18, 45 का LCM
3600 (16=2⁴, 18=2×3², 45=3²×5 → LCM=2⁴×3²×5=720 → पूर्ण वर्ग के लिए ×5 = 3600)
3600 (16=2⁴, 18=2×3², 45=3²×5 → LCM=2⁴×3²×5=720 → पूर्ण वर्ग के लिए ×5 = 3600)
प्रश्न 10: √(1250 × 8) = √10000 = 100
प्रश्न 11: √(1.6 × 1000) = √1600 = 40 छात्राएँ, 1600/40 = 40 ग्राम
प्रश्न 14: √(3600/2.25) = √1600 = 40 मीटर
प्रश्न 15: √289 = 17
📝 हमने सीखा (अध्याय सारांश)
🔢
वर्ग: a × a = a² — वर्गमूल: √a² = ±a
✅
पूर्ण वर्ग: अभाज्य गुणनखंडों के सभी जोड़े बनते हैं — 1, 4, 9, 16, 25, ...
🔬
गुणनखंड विधि: अभाज्य गुणनखंड → जोड़े → एक-एक चुनें → गुणा करें → ±
➗
भाग विधि: जोड़े बनाएँ → भाजक → भागफल → दोहराएँ — बड़ी संख्याओं के लिए।
🔟
दशमलव वर्गमूल: दशमलव अंकों की संख्या सम हो — विषम होने पर शून्य बढ़ाएँ।
♾️
अपरिमेय संख्याएँ: √2, √3, √5 — सांत नहीं — निकटतम मान भाग विधि से।
📐
वर्गमूल में अंक: सम अंक → आधे, विषम अंक → (n+1)/2
🧮
नियम: √(a×b) = √a × √b — √(a÷b) = √a ÷ √b
🧩 मिलान अभ्यास (25 पेयर)
📝 अभ्यास क्विज़
✅ एक बार उत्तर चुनने के बाद बदला नहीं जा सकता।