🔢 परिमेय संख्याएँ (Rational Numbers)
इस अध्याय में हम परिमेय संख्याओं की अवधारणा, उनके तुल्य रूप, मानक रूप, तुलना, क्रम और दो परिमेय संख्याओं के बीच की संख्याएँ ज्ञात करना सीखेंगे।
📋 Chapter Overview – एक नज़र में
इस अध्याय के सभी महत्वपूर्ण विषय – किसी भी कार्ड पर क्लिक करें और सीधे उस भाग पर पहुँचें।
📖 अध्याय सामग्री (Chapter Content)
परिमेय संख्याएँ (Rational Numbers) – वे संख्याएँ जिन्हें p/q के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहाँ p और q पूर्णांक हैं तथा q ≠ 0।
- उदाहरण: 3/4, -5/7, 2, -3, 0 (0 = 0/1)
- सभी प्राकृतिक संख्याएँ (1, 2, 3, ...) परिमेय हैं।
- सभी पूर्ण संख्याएँ (0, 1, 2, 3, ...) परिमेय हैं।
- सभी पूर्णांक (..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...) परिमेय हैं।
📌 याद रखें
- प्रत्येक भिन्न परिमेय संख्या होती है।
- प्रत्येक परिमेय संख्या भिन्न नहीं होती (जैसे 2, -3, 0)।
- जो संख्याएँ p/q के रूप में व्यक्त नहीं की जा सकतीं, अपरिमेय कहलाती हैं (जैसे √2, π)।
- धनात्मक परिमेय संख्याएँ – जिनके अंश और हर दोनों धनात्मक हों या दोनों ऋणात्मक हों।
उदाहरण: 3/5, 2/7, 8/9, (-5)/(-3) = 5/3 - ऋणात्मक परिमेय संख्याएँ – जिनके अंश और हर में से एक ऋणात्मक हो।
उदाहरण: -5/7, 3/-8, -9/5, 7/-3 - 0 (शून्य) – न तो धनात्मक और न ही ऋणात्मक (0 = 0/1)।
📌 ध्यान दें
- -5/7 और 5/-7 दोनों एक ही ऋणात्मक परिमेय संख्या हैं।
- हर को धनात्मक बनाकर लिखना सुविधाजनक होता है।
तुल्य परिमेय संख्याएँ – वे परिमेय संख्याएँ जो समान मान रखती हैं।
a/b = (a×m)/(b×m)
📌 उदाहरण – 2/3 के तुल्य रूप
2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12 = 10/15 = ...
(अंश और हर में 2, 3, 4, 5 से गुणा करने पर)
📌 उदाहरण – -7/5 को अंश -14 वाली संख्या में बदलें
-7/5 = (-7×2)/(5×2) = -14/10
उत्तर: -14/10
📌 महत्वपूर्ण
- 0 से गुणा करने पर 0 प्राप्त होता है, जो परिमेय संख्या नहीं (q=0)।
- अतः m शून्येतर पूर्णांक होना चाहिए।
मानक रूप (Standard Form) – परिमेय संख्या का वह रूप जिसमें अंश और हर में 1 के अतिरिक्त कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड न हो और हर धनात्मक हो।
📌 उदाहरण – -9/21 का मानक रूप
अंश 9 और हर 21 का म0स0 = 3
-9/21 = (-9÷3)/(21÷3) = -3/7
उत्तर: -3/7
📌 उदाहरण – -18/-27 का मानक रूप
अंश 18 और हर 27 का म0स0 = 9
-18/-27 = 18/27 = (18÷9)/(27÷9) = 2/3
उत्तर: 2/3
📌 दो परिमेय संख्याओं की समानता की जाँच
दोनों को मानक रूप में बदलें – यदि समान हों तो संख्याएँ समान हैं।
तुलना के नियम:
- धनात्मक > ऋणात्मक – प्रत्येक धनात्मक संख्या, ऋणात्मक संख्या से बड़ी होती है।
- दो धनात्मक संख्याओं में बड़ा अंश वाली संख्या बड़ी होती है (जब हर समान हो)।
- दो ऋणात्मक संख्याओं में छोटा अंश वाली संख्या बड़ी होती है (जब हर समान हो)।
a/b > c/d यदि ad > bc
a/b < c/d यदि ad < bc
a/b = c/d यदि ad = bc
📌 उदाहरण – -5/4 और 7/-9 में कौन बड़ा?
7/-9 = -7/9 (हर धनात्मक)
-5/4 = -45/36, -7/9 = -28/36
∵ -28 > -45 ∴ -7/9 > -5/4
उत्तर: 7/-9 > -5/4
आरोही क्रम (Ascending Order) – सबसे छोटी से सबसे बड़ी संख्या।
अवरोही क्रम (Descending Order) – सबसे बड़ी से सबसे छोटी संख्या।
📌 उदाहरण – 3/-5, -7/10, 8/-15, -17/-30 को आरोही क्रम में
3/-5 = -3/5 = -18/30
-7/10 = -21/30
8/-15 = -8/15 = -16/30
-17/-30 = 17/30
आरोही क्रम: -21/30 < -18/30 < -16/30 < 17/30
उत्तर: -7/10 < 3/-5 < 8/-15 < -17/-30
📌 प्रगुण
- प्रत्येक धनात्मक परिमेय संख्या 0 से बड़ी होती है।
- प्रत्येक ऋणात्मक परिमेय संख्या 0 से छोटी होती है।
- किन्हीं दो परिमेय संख्याओं के बीच अनंत परिमेय संख्याएँ होती हैं।
📌 संख्या-रेखा पर परिमेय संख्याएँ
- दो क्रमागत पूर्णांकों के बीच की दूरी को समान भागों में विभाजित करें।
- प्रत्येक भाग एक परिमेय संख्या को निरूपित करता है।
- 0 के दायीं ओर धनात्मक और बायीं ओर ऋणात्मक संख्याएँ।
गुण: किन्हीं दो परिमेय संख्याओं के बीच अनंत परिमेय संख्याएँ होती हैं।
📌 उदाहरण – 0 और 1 के बीच 5 परिमेय संख्याएँ
0 = 0/6, 1 = 6/6
0/6, 1/6, 2/6, 3/6, 4/6, 5/6, 6/6
उत्तर: 1/6, 2/6, 3/6, 4/6, 5/6
📌 उदाहरण – -1 और 0 के बीच 3 परिमेय संख्याएँ
-1 = -4/4, 0 = 0/4
उत्तर: -3/4, -2/4, -1/4
📌 याद रखें
- दो संख्याओं के बीच अनंत परिमेय संख्याएँ होती हैं।
- हर को बड़ा करके अधिक संख्याएँ प्राप्त की जा सकती हैं।
🧩 मिलान अभ्यास – 25 Pairs
कॉलम A का कॉलम B से सही मिलान करें – हर पंक्ति में केवल 6 विकल्प दिखेंगे।
सही उत्तर चुनते ही ✅/❌ का निशान और गलत पर सही उत्तर दिख जाएगा।
🧠 Practice Quiz – परिमेय संख्याएँ
✅ एक बार उत्तर चुनने के बाद बदला नहीं जा सकता।