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अध्याय 2: घातांक – Junior School Online
📐 गणित – कक्षा 7 – अध्याय 2

📈 घातांक (Exponents)

इस अध्याय में हम घातांकों की अवधारणा, आधार एवं घातांक, घातांकों के नियम, परिमेय संख्याओं को घात रूप में व्यक्त करना, ऋणात्मक घातांक तथा बड़ी एवं छोटी संख्याओं को मानक रूप (वैज्ञानिक संकेतन) में लिखना सीखेंगे।

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📋 Chapter Overview – एक नज़र में

इस अध्याय के सभी महत्वपूर्ण विषय – किसी भी कार्ड पर क्लिक करें और सीधे उस भाग पर पहुँचें।

📖 अध्याय सामग्री (Chapter Content)

1 📈 घातांक का परिचय
▼

घातांक (Exponent) – किसी संख्या को बार-बार गुणा करने को संक्षिप्त रूप में व्यक्त करने की विधि।

  • उदाहरण: 100000 = 10 × 10 × 10 × 10 × 10 = 10⁵
  • आधार (Base): 10 (जिस संख्या को गुणा किया जा रहा है)
  • घातांक (Exponent): 5 (गुणा करने की संख्या)
10 5 = 10 × 10 × 10 × 10 × 10 आधार = 10, घातांक = 5

📌 पढ़ने का तरीका

  • 10⁵ – "10 की घात 5" या "10 का पाँचवाँ घात"
  • 10² – "10 का वर्ग" (Square)
  • 10³ – "10 का घन" (Cube)

💡 रामानुजन संख्या 1729

1729 = 12³ + 1³ = 10³ + 9³

यह वह छोटी-से-छोटी संख्या है जिसे दो घन संख्याओं के योग के रूप में दो विभिन्न प्रकार से लिखा जा सकता है।

2 🔢 आधार एवं घातांक
▼
घातीय संकेतनगुणा रूपमानआधारघातांक
2³2 × 2 × 2823
3²3 × 3932
5⁶5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 51562556
(-2)³(-2) × (-2) × (-2)-8-23
(-3)⁴(-3) × (-3) × (-3) × (-3)81-34
3⁴ = 3 × 3 × 3 × 3 = 81
4³ = 4 × 4 × 4 = 64
∴ 3⁴ > 4³

📌 चिह्न नियम (ऋणात्मक आधार)

  • सम घातांक पर → धनात्मक मान
    (-5)⁴ = 625
  • विषम घातांक पर → ऋणात्मक मान
    (-5)³ = -125
  • (-1)ⁿ = 1 (यदि n सम), -1 (यदि n विषम)
3 📜 घातांकों के नियम (Laws of Exponents)
▼

महत्वपूर्ण नियम (a ≠ 0):

नियम 1 – गुणन: aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ
उदाहरण: 2³ × 2⁴ = 2³⁺⁴ = 2⁷
नियम 2 – भाग: aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ
उदाहरण: 2⁷ ÷ 2³ = 2⁷⁻³ = 2⁴
नियम 3 – घात की घात: (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ
उदाहरण: (2³)⁴ = 2³ˣ⁴ = 2¹²
नियम 4 – समान घातांक वाली संख्याएँ: aᵐ × bᵐ = (a × b)ᵐ
उदाहरण: 2³ × 3³ = (2 × 3)³ = 6³
नियम 5 – भाग (समान घातांक): aᵐ ÷ bᵐ = (a/b)ᵐ
उदाहरण: 4³ ÷ 2³ = (4/2)³ = 2³
नियम 6 – शून्य घातांक: a⁰ = 1
उदाहरण: 5⁰ = 1, (-3)⁰ = 1
aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ a⁰ = 1

⚠️ महत्वपूर्ण

ये नियम केवल समान आधार वाली संख्याओं के लिए लागू होते हैं।

जैसे: 2³ × 3² को 2³⁺² या 3³⁺² नहीं लिखा जा सकता (आधार असमान हैं)।

4 🔢 परिमेय संख्याओं को घात रूप में व्यक्त करना
▼
(p/q)ᵐ = pᵐ / qᵐ

📌 उदाहरण – (4/7)⁶

(4/7)⁶ = (4×4×4×4×4×4)/(7×7×7×7×7×7) = 4⁶/7⁶

📌 उदाहरण – 64 × 729 को आधार 6 पर

64 = 2⁶, 729 = 3⁶

64 × 729 = 2⁶ × 3⁶ = (2 × 3)⁶ = 6⁶

📌 महत्वपूर्ण बातें

  • प्रत्येक परिमेय संख्या को घात 1 के रूप में लिखा जा सकता है: a = a¹
  • अभाज्य संख्याओं का घातीय संकेतन अद्वितीय होता है।
  • भाज्य संख्याओं का घातीय संकेतन कभी-कभी अद्वितीय नहीं होता।
5 ➖ ऋणात्मक घातांक (Negative Exponents)
▼
a⁻ⁿ = 1/aⁿ (जहाँ a ≠ 0)

📌 उदाहरण

10⁻¹ = 1/10

10⁻² = 1/10² = 1/100

2⁻³ = 1/2³ = 1/8

(-3)⁻² = 1/(-3)² = 1/9

📌 नियम (ऋणात्मक घातांक के साथ)

  • a⁻ⁿ = 1/aⁿ
  • 1/a⁻ⁿ = aⁿ
  • a⁻ᵐ × aⁿ = a⁻ᵐ⁺ⁿ
  • a⁻ᵐ × a⁻ⁿ = a⁻⁽ᵐ⁺ⁿ⁾
  • (aᵐ)⁻ⁿ = a⁻ᵐⁿ
  • (a⁻ᵐ)⁻ⁿ = aᵐⁿ

📌 उदाहरण – (-25)⁻³

(-25)⁻³ = 1/(-25)³ = 1/(-15625) = -1/15625

📌 उदाहरण – 2⁵ × (16)⁻² ÷ 2⁻³

= 2⁵ × (2⁴)⁻² × 2³

= 2⁵ × 2⁻⁸ × 2³ = 2⁵⁻⁸⁺³ = 2⁰ = 1

6 📐 मानक रूप (वैज्ञानिक संकेतन)
▼

मानक रूप (Standard Form) – किसी संख्या को a × 10ⁿ के रूप में व्यक्त करना, जहाँ 1 ≤ a < 10 और n एक पूर्णांक है।

बड़ी संख्याएँ: a × 10ⁿ (n > 0)
छोटी संख्याएँ: a × 10⁻ⁿ (n > 0)

📌 बड़ी संख्याएँ – उदाहरण

54 = 5.4 × 10¹

540 = 5.4 × 10²

5400 = 5.4 × 10³

62,00,00,000 = 6.2 × 10⁸

📌 छोटी संख्याएँ – उदाहरण

0.54 = 5.4 × 10⁻¹

0.054 = 5.4 × 10⁻²

0.0054 = 5.4 × 10⁻³

0.00008 = 8.0 × 10⁻⁵

📌 वैज्ञानिक संकेतन में तथ्य

  • पृथ्वी से सूर्य की दूरी = 1.49 × 10¹¹ मीटर
  • पृथ्वी से चन्द्रमा की दूरी = 3.84 × 10⁸ मीटर
  • एक आकाशगंगा में तारे = 1.0 × 10¹¹
  • इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान = 9.107 × 10⁻²⁸ ग्राम
7 📝 अभ्यास (Exercises)
▼

अभ्यास 2(a) – घातांकीय रूप

  • (-2/3)⁵ = -32/243
  • 5×5×5×5×5 = 5⁵
  • 2⁷ = 128
  • 5² मीटर² = 25 वर्ग मीटर
  • 12² = 144, 20³ = 8000

अभ्यास 2(b) – घातांकों के नियम

  • 3⁵ × 3⁶ = 3¹¹
  • a³ × a³ = a⁶
  • 2⁵ × 2³ = 2⁸
  • (-5)³ × (-5)² = (-5)⁵
  • (2/3)⁵ × (2/3)² = (2/3)⁷
  • (4/9)² × (4/9)³ = (4/9)⁵

अभ्यास 2(c) – परिमेय संख्याओं का घात रूप

  • 12⁶ = 2985984
  • 15625 = 5⁶ = 25³ = 125²
  • 0.0001 = (0.01)²
  • 1000 = (10)³
  • 1024 = (32)²
  • 512/729 = (8/9)³

अभ्यास 2(d) – ऋणात्मक घातांक

  • 3⁴ × 3⁵ × 3⁻⁹ = 1
  • (2/3)² × (4/9)² × (2/3)⁴ = (4/9)²
  • (1/2)⁻² × 2² = 16
  • 3⁻² × 3⁵ = 27
  • (2×3)⁶ × 6⁻³ = 216

अभ्यास 2(e) – मानक रूप

  • 62,00,00,000 = 6.2 × 10⁸
  • 0.00008 = 8.0 × 10⁻⁵
  • चन्द्रमा की आयु = 4.6 × 10⁹ वर्ष
  • पृथ्वी–सूर्य दूरी = 1.5 × 10⁸ किमी
  • 4250000 = 4.25 × 10⁶
  • 0.000045 = 4.5 × 10⁻⁵
8 🌌 रोचक तथ्य (Interesting Facts)
▼

📌 रोचक तथ्य – घातांकों का उपयोग

  • 1 ग्राम मानव अपशिष्ट में 100 जीवाणु अण्डे, 1000 जीवाणु कोश, 10,00,000 बैक्टीरिया तथा 1,00,00,000 वायरस होते हैं।
  • एक जीवाणु की नाप = 5.0 × 10⁻⁸ मीटर
  • पृथ्वी से सूर्य की दूरी = 1.49 × 10¹¹ मीटर
  • पृथ्वी से चन्द्रमा की दूरी = 3.84 × 10⁸ मीटर
  • पृथ्वी में समुद्र जल = 1.353 × 10⁹ किमी³
  • एक आकाशगंगा में तारे = 1.0 × 10¹¹
  • रामानुजन संख्या 1729 = 12³ + 1³ = 10³ + 9³

🧩 मिलान अभ्यास – 25 Pairs

कॉलम A का कॉलम B से सही मिलान करें – हर पंक्ति में केवल 6 विकल्प दिखेंगे।
सही उत्तर चुनते ही ✅/❌ का निशान और गलत पर सही उत्तर दिख जाएगा।

🧠 Practice Quiz – घातांक (Exponents)

🎯 आपकी प्रगति
स्कोर: 0/0

✅ एक बार उत्तर चुनने के बाद बदला नहीं जा सकता।

📝 हमने सीखा – सारांश

✔ घातांक – बार-बार गुणा का संक्षिप्त रूप
✔ आधार – वह संख्या जिसे गुणा किया जाए
✔ घातांक – गुणा करने की संख्या
✔ aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ – गुणन नियम
✔ aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ – भाग नियम
✔ (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ – घात की घात
✔ a⁰ = 1 – शून्य घातांक
✔ a⁻ⁿ = 1/aⁿ – ऋणात्मक घातांक
✔ (-1)ⁿ = 1 (n सम), -1 (n विषम)
✔ मानक रूप – a × 10ⁿ, 1 ≤ a < 10
✔ (p/q)ᵐ = pᵐ/qᵐ – परिमेय संख्याओं के लिए
✔ वैज्ञानिक संकेतन – बड़ी/छोटी संख्याओं के लिए
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