अध्याय 6: संख्याएँ – Junior School Online

📐 Mathematics – Class 8 – Chapter 6

🔢 संख्याएँ (Number Play)

जानें कि दो तथा तीन अंकों की संख्याओं को व्यापक रूप में कैसे लिखें, चार मूल संक्रियाओं (+, −, ×, ÷) में रिक्त संख्याएँ ज्ञात करें, संख्या पहेलियाँ और खेल खेलें, तथा 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13 से विभाज्यता के नियमों को बीजगणितीय रूप में समझें।

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📋 Chapter Overview – एक नज़र में

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📖 अध्याय सामग्री (Chapter Content)

1 📝 दो तथा तीन अंकों की संख्याओं का व्यापक रूप

▼

दो अंकों की संख्या का व्यापक रूप:

\(10a + b\) (जहाँ \(a\) = दहाई का अंक, \(b\) = इकाई का अंक)

उदाहरण:

\(18 = 10 \times 1 + 8\)

\(27 = 10 \times 2 + 7\)

\(69 = 10 \times 6 + 9\)

\(80 = 10 \times 8 + 0\)

\(15 = 10 \times 1 + 5\), \(42 = 10 \times 4 + 2\)

तीन अंकों की संख्या का व्यापक रूप:

\(100a + 10b + c\) (जहाँ \(a\) = सैकड़ा, \(b\) = दहाई, \(c\) = इकाई का अंक)

उदाहरण:

\(345 = 100 \times 3 + 10 \times 4 + 5\)

\(416 = 100 \times 4 + 10 \times 1 + 6\)

\(500 = 100 \times 5 + 10 \times 0 + 0\)

\(999 = 100 \times 9 + 10 \times 9 + 9\)

\(247 = 100 \times 2 + 10 \times 4 + 7\)

📝 व्यापक रूप: दो अंक → \(10a+b\), तीन अंक → \(100a+10b+c\)

2 ❓ चार मूल संक्रियाओं में रिक्त संख्याएँ

▼

(i) योग (Addition) में रिक्त अंक

उदाहरण: \( \square 4 + 48 + 95 = 166\)

इकाई: \(\square + 8 + 5 = \square + 13\) → \(\square + 3 = 6\) → \(\square = 3\)

लुप्त अंक = 3

उदाहरण: \(37 + 6\square + 8 = 171\)

इकाई: \(7 + 6 + 8 = 21\) → 2 हासिल

दहाई: \(2 + 3 + \square = 17\) → \(\square + 5 = 17\) → \(\square = 12\) → \(\square = 4\)

लुप्त अंक = 4

(ii) घटाना (Subtraction) में रिक्त अंक

उदाहरण: \(83 - 2\square = 55\)

इकाई: \((10+3) - \square = 5\) → \(\square = 8\)

लुप्त अंक = 8

(iii) गुणा (Multiplication) में रिक्त अंक

उदाहरण: \(56 \times 2\square = 1344\)

\(56 \times 20 + 56 \times \square = 1344\)

\(1120 + 56\square = 1344\) → \(56\square = 224\) → \(\square = 4\)

लुप्त अंक = 4

उदाहरण: \(BA \times B6 = 72A\) (A और B ज्ञात करें)

इकाई: \(A \times 6 = A\) → A = 6 या 8

जाँच: \(28 \times 26 = 728\) → A = 8, B = 2

A = 8, B = 2

❓ रिक्त संख्याएँ: इकाई से शुरू करें, हासिल/उधार का ध्यान रखें।

3 🧩 संख्या पहेली और खेल

▼

पहेली 1: इकाई अंक 5 वाली संख्याओं का वर्ग

\((x5)^2 = x(x+1) \times 100 + 25\)

उदाहरण: \(15^2 = 1 \times 2 \times 100 + 25 = 225\)

\(25^2 = 2 \times 3 \times 100 + 25 = 625\)

\(85^2 = 8 \times 9 \times 100 + 25 = 7225\)

इकाई 5 वाली संख्या का वर्ग = \(x(x+1) \times 100 + 25\)

पहेली 2: 7, 11, 13 का जादू

कोई भी तीन अंकों की संख्या लें (जैसे 123)

इसे दो बार लिखें: 123123

\(123123 \div 7 = 17589\), \(\div 11 = 1599\), \(\div 13 = 123\)

\(abcabc = 1001 \times abc = 7 \times 11 \times 13 \times abc\)

पहेली 3: अंकों का योग घटाना

कोई भी संख्या लें, उसके अंकों का योग घटाएँ

\(867 - (8+6+7) = 867 - 21 = 846\)

\(846 \div 9 = 94\) → हमेशा 9 से विभाज्य

किसी भी संख्या में से उसके अंकों का योग घटाने पर प्राप्त संख्या 9 से विभाज्य होती है।

🧩 संख्याओं का जादू: 7, 11, 13 से विभाज्यता – 1001 = 7×11×13

संख्याओं का जादू – 123123

चित्र 6.1: 7, 11, 13 का जादू

4 📏 विभाज्यता के नियम (2, 3, 5, 9)

▼

इकाई का अंक 0, 2, 4, 6, 8 हो

(सम संख्या)

अंकों का योग 3 से विभाज्य हो

जैसे 72 → 7+2=9

इकाई का अंक 0 या 5 हो

जैसे 70, 125

अंकों का योग 9 से विभाज्य हो

जैसे 729 → 7+2+9=18

3 अंकों के त्रिक – विषम/सम का अन्तर 7 से विभाज्य हो

(3-अंकीय त्रिक विधि)

विषम स्थानों के अंकों का योग – सम स्थानों के अंकों का योग 0 या 11 का गुणज हो

2 से विभाज्यता – बीजगणितीय सत्यापन

\(abc = 100a + 10b + c\)

100a और 10b, 2 से विभाज्य हैं।

अतः यदि \(c\) (इकाई का अंक) 0, 2, 4, 6, 8 हो, तो संख्या 2 से विभाज्य होगी।

3 और 9 से विभाज्यता – बीजगणितीय सत्यापन

\(abc = 100a + 10b + c = 99a + 9b + (a+b+c)\)

99a + 9b, 3 और 9 से विभाज्य है।

अतः यदि \(a+b+c\) (अंकों का योग) 3 या 9 से विभाज्य हो, तो संख्या 3 या 9 से विभाज्य होगी।

उदाहरण: 21y5, 9 से विभाज्य है। \(2+1+y+5 = 8+y\) → \(8+y=9\) → \(y=1\)

\(y = 1\)

5 से विभाज्यता – बीजगणितीय सत्यापन

\(abc = 100a + 10b + c = 10(10a+b) + c\)

10(10a+b), 5 से विभाज्य है।

अतः यदि \(c\) (इकाई का अंक) 0 या 5 हो, तो संख्या 5 से विभाज्य होगी।

इकाई अंक 0 या 5 → 5 से विभाज्य

📏 विभाज्यता: 2 → इकाई सम, 3/9 → अंकों का योग, 5 → इकाई 0/5

5 🔑 7, 11 और 13 से विभाज्यता का नियम

▼

1001 = 7 × 11 × 13 \(abcabc = 1001 \times abc\)

विधि (त्रिक विधि):

चरण 1: संख्या में दायीं ओर से 3-3 अंकों के त्रिक बनाएँ।

चरण 2: विषम स्थान (पहला, तीसरा, ...) के त्रिकों का योग करें।

चरण 3: सम स्थान (दूसरा, चौथा, ...) के त्रिकों का योग करें।

चरण 4: इन योगों का अन्तर निकालें।

चरण 5: यदि अन्तर 7, 11 या 13 से विभाज्य हो, तो मूल संख्या भी विभाज्य होगी।

उदाहरण: 452912356 की 7, 11, 13 से विभाज्यता जाँच

त्रिक: 452 | 912 | 356

विषम: 452 + 356 = 808

सम: 912

अन्तर: 912 – 808 = 104

104, 13 से विभाज्य है (104 ÷ 13 = 8)

संख्या 13 से विभाज्य है, 7 और 11 से नहीं।

13 से विभाज्यता – वैकल्पिक विधि:

अंकों पर \(-1, 3, 4, 1, -3, -4\) का गुणा करें।

उदाहरण: 1066195 → \(5(-1) + 9(3) + 1(4) + 6(1) + 6(-3) + 0(-4) + 1(-1)\)

= \(-5 + 27 + 4 + 6 - 18 + 0 - 1 = 13\) → 13 से विभाज्य

संख्या 13 से विभाज्य है।

🔑 7, 11, 13: 1001 = 7×11×13 – त्रिक विधि से विभाज्यता जाँच

6 📖 सारांश – हमने क्या सीखा

▼

दो अंकों की संख्या का व्यापक रूप: \(10a + b\) (a = दहाई, b = इकाई)
तीन अंकों की संख्या का व्यापक रूप: \(100a + 10b + c\) (a = सैकड़ा, b = दहाई, c = इकाई)
रिक्त संख्याएँ ज्ञात करना: योग, घटाना, गुणा, भाग – इकाई से शुरू करें।
संख्या पहेलियाँ: \((x5)^2 = x(x+1) \times 100 + 25\)
7, 11, 13 का जादू: \(abcabc = 1001 \times abc = 7 \times 11 \times 13 \times abc\)
विभाज्यता के नियम:
- 2: इकाई अंक 0, 2, 4, 6, 8
- 3/9: अंकों का योग 3/9 से विभाज्य
- 5: इकाई अंक 0 या 5
- 7, 11, 13: त्रिक विधि – अन्तर 7, 11 या 13 से विभाज्य
11 का नियम: विषम स्थानों के अंकों का योग – सम स्थानों के अंकों का योग 0 या 11 का गुणज

✅ मुख्य बिंदु

संख्याएँ – गणित की आधारशिला। व्यापक रूप, रिक्त संख्याएँ, संख्या पहेलियाँ और विभाज्यता के नियम – ये सभी संख्याओं की गहरी समझ विकसित करते हैं। 7, 11, 13 का जादू (1001 = 7×11×13) संख्याओं के चमत्कार को दर्शाता है। विभाज्यता के नियमों का बीजगणितीय सत्यापन गणितीय तर्क को मजबूत करता है।

🧠 माइंडमैप – संख्याएँ

📐 अध्याय 6 – संपूर्ण सारांश

📝 व्यापक रूप

दो अंक: 10a+b तीन अंक: 100a+10b+c स्थानीय मान

❓ रिक्त संख्याएँ

योग → इकाई से घटाना → उधार गुणा → चरणबद्ध भाग → गुणा सत्यापन

🧩 पहेलियाँ

(x5)² = x(x+1)×100+25 abcabc = 1001×abc अंक योग घटाना → 9 से

📏 विभाज्यता

2 → इकाई सम 3/9 → अंकों का योग 5 → इकाई 0/5 11 → अन्तर 0/11

🔑 7, 11, 13

1001 = 7×11×13 त्रिक विधि विषम/सम त्रिकों का अन्तर

📖 निष्कर्ष

संख्याएँ – अद्भुत विभाज्यता – उपयोगी पहेलियाँ – मनोरंजक

📐 निष्कर्ष: संख्याएँ गणित की आधारशिला हैं। दो और तीन अंकों की संख्याओं का व्यापक रूप (10a+b, 100a+10b+c) संख्याओं की संरचना को समझने में सहायक है। योग, घटाना, गुणा, भाग में रिक्त संख्याएँ ज्ञात करना तार्किक क्षमता बढ़ाता है। संख्या पहेलियाँ और खेल गणित को रुचिकर बनाते हैं। विभाज्यता के नियम (2, 3, 5, 7, 9, 11, 13) – विशेष रूप से 7, 11, 13 का 1001 से संबंध – संख्याओं के अद्भुत गुणों को प्रकट करते हैं।

🧩 मिलान अभ्यास – अध्याय 6: संख्याएँ

✅ प्रत्येक row में 6 विकल्प दिखेंगे – सही चुनें और तुरंत परिणाम देखें।

🧠 Practice Quiz – अध्याय 6: संख्याएँ

🎯 आपकी प्रगति

स्कोर: 0/0

✅ एक बार उत्तर चुनने के बाद बदला नहीं जा सकता।

📝 इस इकाई में हमने सीखा

✔ व्यापक रूप – 10a+b (दो अंक), 100a+10b+c (तीन अंक)

✔ योग में रिक्त – इकाई से शुरू, हासिल का ध्यान

✔ घटाना में रिक्त – उधार लेकर हल करें

✔ गुणा में रिक्त – चरणबद्ध समीकरण

✔ (x5)² = x(x+1)×100 + 25

✔ abcabc = 1001 × abc = 7×11×13×abc

✔ 2 से विभाज्य – इकाई 0,2,4,6,8

✔ 3/9 से विभाज्य – अंकों का योग

✔ 5 से विभाज्य – इकाई 0 या 5

✔ 7, 11, 13 – त्रिक विधि

✔ 11 का नियम – विषम−सम = 0 या 11 का गुणज

✔ अंक योग घटाना – 9 से विभाज्य