📊 घन और घनमूल (Cube & Cube Root)
जानें कि घन (Cube) क्या है, पूर्ण घन संख्याएँ, घनमूल (Cube Root) ज्ञात करने की विधियाँ, अभाज्य गुणनखंड विधि, ऋण पूर्णांकों का घनमूल, परिमेय संख्याओं और दशमलव संख्याओं का घनमूल, तथा घन के आयतन और भुजा में संबंध।
📋 Chapter Overview – एक नज़र में
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📖 अध्याय सामग्री (Chapter Content)
घन (Cube) – किसी संख्या को तीन बार लेकर उनका आपस में गुणा करने पर प्राप्त मान को उस संख्या का घन कहते हैं।
उदाहरण: \(2 \times 2 \times 2 = 2^3 = 8\)
\(3 \times 3 \times 3 = 3^3 = 27\)
\(5 \times 5 \times 5 = 5^3 = 125\)
2 का घन 8 है, 3 का घन 27 है, 5 का घन 125 है।
📖 घन: किसी संख्या की तीसरी घात – \(a^3\)
पूर्ण घन (Perfect Cube) – वह संख्या जो किसी परिमेय संख्या का घन हो।
यदि \(n = m \times m \times m = m^3\) हो, तो \(n\) एक पूर्ण घन संख्या है।
उदाहरण: 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000 पूर्ण घन संख्याएँ हैं।
सारणी:
1
1
2
8
27
64
125
216
343
512
729
1000
1 से 1000 तक केवल 10 पूर्ण घन संख्याएँ हैं।
सम और विषम संख्याओं के घन:
सम संख्या का घन → सम संख्या (जैसे \(2^3 = 8\))
विषम संख्या का घन → विषम संख्या (जैसे \(3^3 = 27\))
11 से 20 तक: 1331, 1728, 2197, 2744, 3375, 4096, 4913, 5832, 6859, 8000
🔢 पूर्ण घन: 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000
ज्यामितीय निरूपण: घन एक ठोस आकृति है जिसकी सभी भुजाएँ (कोरें) बराबर होती हैं।
📐 घन का आयतन: भुजा³ (जैसे 3³ = 27)
घनमूल (Cube Root): किसी संख्या का घनमूल वह संख्या है जिसका घन करने पर दी हुई संख्या प्राप्त हो जाती है।
उदाहरण:
\(2^3 = 8\), अतः \(\sqrt[3]{8} = 2\)
\((-4)^3 = -64\), अतः \(\sqrt[3]{-64} = -4\)
\(\left(\frac{1}{10}\right)^3 = \frac{1}{1000}\), अतः \(\sqrt[3]{\frac{1}{1000}} = \frac{1}{10}\)
\((0.1)^3 = 0.001\), अतः \(\sqrt[3]{0.001} = 0.1\)
\(\left(-\frac{1}{2}\right)^3 = -\frac{1}{8}\), अतः \(\sqrt[3]{-\frac{1}{8}} = -\frac{1}{2}\)
\(\sqrt[3]{n}\) – घनमूल का चिह्न
📏 घनमूल: \(\sqrt[3]{n}\) – वह संख्या जिसका घन \(n\) हो।
चरण (Steps):
उदाहरण 1: 157464 का घनमूल ज्ञात कीजिए।
\(157464 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3\)
\(\sqrt[3]{157464} = 2 \times 3 \times 3 \times 3 = 54\)
\(\sqrt[3]{157464} = 54\)
उदाहरण 2: 43200 को पूर्ण घन बनाने के लिए किस संख्या से गुणा करें?
\(43200 = 2^6 \times 3^3 \times 5^2\) → 5×5 शेष है, अतः 5 से गुणा करें।
\(43200 \times 5 = 216000 = 60^3\)
गुणा करने वाली संख्या = 5, घनमूल = 60
उदाहरण 3: 13122 में किस संख्या से भाग दें कि भागफल पूर्ण घन बन जाए?
\(13122 = 2 \times 3^8\) → 2×3×3 = 18 से भाग दें।
\(13122 ÷ 18 = 729 = 9^3\)
भाजक = 18, घनमूल = 9
🔑 गुणनखंड विधि: अभाज्य गुणनखंडों के 3-3 के समूह बनाएँ।
उदाहरण:
\((-1)^3 = -1\) → \(\sqrt[3]{-1} = -1\)
\((-2)^3 = -8\) → \(\sqrt[3]{-8} = -2\)
\((-3)^3 = -27\) → \(\sqrt[3]{-27} = -3\)
\((-4)^3 = -64\) → \(\sqrt[3]{-64} = -4\)
\((-11)^3 = -1331\) → \(\sqrt[3]{-1331} = -11\)
उदाहरण: \(\sqrt[3]{-2197}\) का मान ज्ञात कीजिए।
\(2197 = 13^3\)
\(\sqrt[3]{-2197} = -\sqrt[3]{2197} = -13\)
\(\sqrt[3]{-2197} = -13\)
➖ ऋण घनमूल: \(\sqrt[3]{-x} = -\sqrt[3]{x}\)
परिमेय संख्या का घनमूल
उदाहरण 1: \(\frac{343}{512}\) का घनमूल
\(343 = 7^3\), \(512 = 8^3\)
\(\sqrt[3]{\frac{343}{512}} = \frac{7}{8}\)
\(\sqrt[3]{\frac{343}{512}} = \frac{7}{8}\)
उदाहरण 2: \(-\frac{125}{1728}\) का घनमूल
\(-125 = (-5)^3\), \(1728 = 12^3\)
\(\sqrt[3]{-\frac{125}{1728}} = -\frac{5}{12}\)
\(\sqrt[3]{-\frac{125}{1728}} = -\frac{5}{12}\)
दशमलव संख्या का घनमूल
उदाहरण 1: \(0.216\) का घनमूल
\((0.6)^3 = 0.216\) → \(\sqrt[3]{0.216} = 0.6\)
उदाहरण 2: \(1.728\) का घनमूल
\((1.2)^3 = 1.728\) → \(\sqrt[3]{1.728} = 1.2\)
उदाहरण 3: \(15.625\) का घनमूल
\(15.625 = \frac{15625}{1000} = \frac{25^3}{10^3}\)
\(\sqrt[3]{15.625} = \frac{25}{10} = 2.5\)
🔢 दशमलव घनमूल: दशमलव → भिन्न → अंश/हर का घनमूल
घन का आयतन: = (भुजा)³
घन की भुजा: = \(\sqrt[3]{\text{आयतन}}\)
उदाहरण 1: एक घनाकार बक्से का आयतन 8000 सेमी³ है। इसकी भुजा ज्ञात कीजिए।
\(x = \sqrt[3]{8000} = \sqrt[3]{20^3} = 20\)
भुजा = 20 सेमी
उदाहरण 2: एक घनाकार कम्पोस्ट खाद के गड्ढे का आयतन 13.824 मी³ है। गड्ढे की गहराई ज्ञात कीजिए।
\(x = \sqrt[3]{13.824} = \sqrt[3]{\frac{13824}{1000}} = \frac{\sqrt[3]{13824}}{10}\)
\(13824 = 24^3\), अतः \(\sqrt[3]{13824} = 24\)
गहराई = 24/10 = 2.4 मीटर
📦 घन का आयतन: \(V = x^3\) → भुजा: \(x = \sqrt[3]{V}\)
- घन: किसी संख्या को तीन बार गुणा करने पर प्राप्त मान – \(a^3\)
- पूर्ण घन: 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000
- घनमूल: वह संख्या जिसका घन दी गई संख्या हो – \(\sqrt[3]{n}\)
- अभाज्य गुणनखंड विधि: गुणनखंडों के 3-3 के समूह बनाएँ, प्रत्येक से एक लें।
- ऋण घनमूल: \(\sqrt[3]{-x} = -\sqrt[3]{x}\)
- परिमेय का घनमूल: \(\sqrt[3]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{b}}\)
- दशमलव का घनमूल: दशमलव → भिन्न → अंश/हर का घनमूल
- घन का आयतन: \(V = x^3\), भुजा: \(x = \sqrt[3]{V}\)
- सम संख्या का घन → सम, विषम संख्या का घन → विषम
- दो पूर्ण घनों के गुणनफल का घनमूल: \(\sqrt[3]{ab} = \sqrt[3]{a} \times \sqrt[3]{b}\)
✅ मुख्य बिंदु
घन और घनमूल – गणित की महत्वपूर्ण अवधारणाएँ। पूर्ण घन संख्याओं की पहचान, घनमूल ज्ञात करने की अभाज्य गुणनखंड विधि, ऋणात्मक संख्याओं का घनमूल, परिमेय और दशमलव संख्याओं का घनमूल – सभी व्यावहारिक जीवन में उपयोगी हैं। घन के आयतन और भुजा का संबंध ज्यामितीय समस्याओं को हल करने में सहायक है।
🧠 माइंडमैप – घन और घनमूल
🧩 मिलान अभ्यास – अध्याय 3: घन और घनमूल
✅ प्रत्येक row में 6 विकल्प दिखेंगे – सही चुनें और तुरंत परिणाम देखें।
🧠 Practice Quiz – अध्याय 3: घन और घनमूल
✅ एक बार उत्तर चुनने के बाद बदला नहीं जा सकता।