अध्याय 11: वृत्त – Junior School Online

📐 Mathematics – Class 7 – Chapter 11

⭕ वृत्त (Circle)

जानें कि वृत्त (Circle) क्या है, वृत्त के अवयव – त्रिज्या, व्यास, जीवा, चाप, त्रिज्यखंड, वृत्तखंड – अर्धवृत्त का कोण (90°), अन्तर्गत कोण, केन्द्र पर अन्तरित कोण तथा एक ही वृत्तखंड के कोणों के गुण।

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📋 Chapter Overview – एक नज़र में

इस अध्याय के सभी महत्वपूर्ण विषय – किसी भी कार्ड पर क्लिक करें और सीधे उस भाग पर पहुँचें।

केन्द्र पर अन्तरित कोण

Central Angle

🔗

एक ही वृत्तखंड के कोण

📖 अध्याय सामग्री (Chapter Content)

1 📖 वृत्त – परिचय (Introduction)

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वृत्त (Circle) – एक ऐसी बन्द आकृति जिसमें केन्द्र (Centre) से सभी बिन्दुओं की दूरी समान होती है।

केन्द्र (Centre): O – वृत्त का मध्य बिन्दु
त्रिज्या (Radius): केन्द्र से वृत्त पर किसी बिन्दु तक की दूरी – OA, OB
व्यास (Diameter): वृत्त के एक बिन्दु से दूसरे बिन्दु तक केन्द्र से होकर जाने वाली रेखा – AOB
जीवा (Chord): वृत्त पर दो बिन्दुओं को मिलाने वाली रेखाखण्ड
चाप (Arc): वृत्त की परिधि का कोई भाग
त्रिज्यखंड (Sector): दो त्रिज्याओं और संगत चाप से घिरा भाग
वृत्तखंड (Segment): एक जीवा और संगत चाप से घिरा भाग

📖 वृत्त: केन्द्र से समान दूरी पर स्थित बिन्दुओं का समूह – त्रिज्या, व्यास, जीवा, चाप, त्रिज्यखंड, वृत्तखंड।

व्यास और त्रिज्या में संबंध: व्यास = 2 × त्रिज्या (d = 2r)

उदाहरण: यदि त्रिज्या 5 सेमी है, तो व्यास = 10 सेमी

2 📐 अर्धवृत्त का कोण – 90° (Angle in a Semicircle)

▼

अर्धवृत्त में बना कोण = 90° (समकोण)

अर्धवृत्त का कोण: किसी वृत्त के व्यास (Diameter) द्वारा अर्धवृत्त पर किसी बिन्दु पर बना कोण समकोण (90°) होता है।

क्रियाकलाप: एक वृत्त खींचिए, व्यास AB खींचिए, अर्धवृत्त पर बिन्दु C लीजिए। AC और BC मिलाइए। ∠ACB = 90°

निष्कर्ष: ∠ACB = 90°

📐 अर्धवृत्त का कोण: व्यास द्वारा अर्धवृत्त पर किसी बिन्दु पर बना कोण 90° होता है।

3 📏 चाप का अंशमाप (Degree Measure of an Arc)

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चाप का अंशमाप: किसी चाप द्वारा वृत्त के केन्द्र पर अन्तरित कोण (Central Angle) को उस चाप का अंशमाप कहते हैं।

m(लघु चाप AB) = ∠AOB
m(दीर्घ चाप AB) = 360° – m(लघु चाप AB)

उदाहरण: यदि लघु चाप AB का अंशमाप 70° है, तो दीर्घ चाप AB का अंशमाप = 360° – 70° = 290°

महत्वपूर्ण: वृत्त का कुल अंशमाप = 360°

📏 चाप का अंशमाप: केन्द्र पर अन्तरित कोण = चाप का अंशमाप। दीर्घ चाप = 360° – लघु चाप।

4 🎯 अन्तर्गत कोण (Inscribed Angle)

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अन्तर्गत कोण (Inscribed Angle): वह कोण जिसका शीर्ष (Vertex) वृत्त पर स्थित हो तथा जिसकी भुजाएँ (Sides) वृत्त को दो अलग-अलग बिन्दुओं पर काटती हों।

उदाहरण: ∠ACB – जहाँ C वृत्त पर स्थित है और CA तथा CB वृत्त को A और B पर काटती हैं।

∠ACB एक अन्तर्गत कोण है।

🎯 अन्तर्गत कोण: शीर्ष वृत्त पर, भुजाएँ वृत्त को दो बिन्दुओं पर काटती हैं।

5 🔵 केन्द्र पर अन्तरित कोण (Central Angle)

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केन्द्र पर अन्तरित कोण = 2 × अन्तर्गत कोण
∠AOB = 2 × ∠ACB

महत्वपूर्ण संबंध: किसी चाप द्वारा वृत्त के केन्द्र पर अन्तरित कोण, उसी चाप द्वारा वृत्त के किसी अन्य बिन्दु पर अन्तरित कोण का दुगुना होता है।

उदाहरण 1: यदि ∠ACB = 40° है, तो ∠AOB = 2 × 40° = 80°

उदाहरण 2: यदि ∠AOB = 130° है, तो ∠ACB = 130°/2 = 65°

🔵 केन्द्र पर अन्तरित कोण: केन्द्र पर कोण = 2 × वृत्त पर कोण (एक ही चाप के लिए)।

6 🔗 एक ही वृत्तखंड के कोण (Angles in the Same Segment)

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एक ही वृत्तखंड में बने कोण बराबर होते हैं
∠ACB = ∠ADB

गुण: एक ही वृत्तखंड (Same Segment) में बने सभी अन्तर्गत कोण बराबर होते हैं।

उदाहरण: यदि ∠ACB = 45° है, तो एक ही वृत्तखंड में बना ∠ADB भी 45° होगा।

महत्वपूर्ण: ये दोनों कोण एक ही चाप (AB) को अन्तःखंडित करते हैं।

🔗 एक ही वृत्तखंड के कोण: एक ही चाप द्वारा अन्तरित सभी अन्तर्गत कोण बराबर होते हैं।

7 📖 सारांश – हमने क्या सीखा

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वृत्त: केन्द्र से समान दूरी पर स्थित बिन्दुओं का समूह
त्रिज्या (r): केन्द्र से वृत्त तक की दूरी; व्यास (d): d = 2r
जीवा: वृत्त पर दो बिन्दुओं को मिलाने वाली रेखा
चाप: वृत्त की परिधि का भाग; लघु चाप और दीर्घ चाप
अर्धवृत्त का कोण: 90° (समकोण)
चाप का अंशमाप: केन्द्र पर अन्तरित कोण = चाप का अंशमाप
केन्द्र पर कोण = 2 × वृत्त पर कोण (एक ही चाप के लिए)
एक ही वृत्तखंड के कोण: बराबर होते हैं

✅ मुख्य बिंदु

वृत्त ज्यामिति की महत्वपूर्ण आकृति है। अर्धवृत्त का कोण 90° होता है, केन्द्र पर अन्तरित कोण वृत्त पर अन्तरित कोण का दुगुना होता है, तथा एक ही वृत्तखंड में बने कोण बराबर होते हैं। ये गुण विभिन्न ज्यामितीय समस्याओं को हल करने में सहायक हैं।

🧠 माइंडमैप – वृत्त (Circle)

⭕ अध्याय 11 – संपूर्ण सारांश

📖 वृत्त के अवयव

केन्द्र (O) त्रिज्या (r) व्यास (d=2r) जीवा (Chord) चाप (Arc)

📐 अर्धवृत्त का कोण

व्यास द्वारा बना कोण = 90° (समकोण) थेल्स प्रमेय

📏 चाप का अंशमाप

लघु चाप = ∠AOB दीर्घ चाप = 360° – लघु कुल = 360°

🎯 अन्तर्गत कोण

शीर्ष वृत्त पर भुजाएँ वृत्त को काटें ∠ACB

🔵 केन्द्र पर कोण

∠AOB = 2 × ∠ACB केन्द्र कोण = 2 × अन्तर्गत कोण

🔗 एक ही वृत्तखंड

∠ACB = ∠ADB सभी कोण बराबर एक ही चाप के लिए

📐 महत्वपूर्ण सूत्र

d = 2r ∠AOB = 2∠ACB m(चाप) = ∠केन्द्र एक ही खंड में =

🔑 निष्कर्ष

वृत्त – अद्भुत आकृति कोणों के गुण – महत्वपूर्ण ज्यामिति की नींव

⭕ निष्कर्ष: वृत्त (Circle) – केन्द्र से समान दूरी पर स्थित बिन्दुओं का समूह। अर्धवृत्त का कोण 90° होता है। किसी चाप द्वारा केन्द्र पर अन्तरित कोण, उसी चाप द्वारा वृत्त पर अन्तरित कोण का दुगुना होता है। एक ही वृत्तखंड में बने सभी अन्तर्गत कोण बराबर होते हैं। ये गुण वृत्त से संबंधित समस्याओं के समाधान में सहायक हैं।

🧩 मिलान अभ्यास – अध्याय 11: वृत्त

✅ प्रत्येक row में 6 विकल्प दिखेंगे – सही चुनें और तुरंत परिणाम देखें।

🧠 Practice Quiz – अध्याय 11: वृत्त

🎯 आपकी प्रगति

स्कोर: 0/0

✅ एक बार उत्तर चुनने के बाद बदला नहीं जा सकता।

📝 इस इकाई में हमने सीखा

✔ वृत्त – केन्द्र से समान दूरी पर बिन्दुओं का समूह

✔ त्रिज्या – r, व्यास – d = 2r

✔ अर्धवृत्त का कोण = 90°

✔ चाप का अंशमाप = केन्द्र पर कोण

✔ लघु चाप + दीर्घ चाप = 360°

✔ अन्तर्गत कोण – शीर्ष वृत्त पर

✔ केन्द्र पर कोण = 2 × अन्तर्गत कोण

✔ एक ही वृत्तखंड में कोण = बराबर

✔ जीवा – वृत्त पर दो बिन्दुओं को मिलाने वाली रेखा

✔ व्यास – सबसे बड़ी जीवा

✔ त्रिज्यखंड – दो त्रिज्याएँ + चाप

✔ वृत्तखंड – जीवा + चाप