पिछली कक्षाओं में हम बीजीय व्यंजकों और सर्वसमिकाओं के बारे में पढ़ चुके हैं तथा बीजीय व्यंजकों का गुणन करना भी सीख चुके हैं। इस अध्याय में हम एक चर के बहुपदीय व्यंजकों के बारे में पढ़ेंगे और हम सीखेंगे कि एक बहुपद में एकपदीय या द्विपदीय बीजीय व्यंजकों से कैसे भाग दिया जाता है और अध्याय के अन्त में हम बहुपदों का गुणनखंड ज्ञात करना सीखेंगे।

💡 महत्वपूर्ण

बीजीय व्यंजकों का भाग एवं गुणनखण्ड गणित की आधारशिला हैं, जो उच्च कक्षाओं में समीकरणों एवं फलनों को समझने में सहायक होते हैं।

2 📐 एक चर में बहुपद (Polynomial in One Variable)

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बहुपद (Polynomial) – एक चर वाले व्यंजक जिसमें चर की घातें पूर्ण संख्याएँ हों।

घात (Degree): चर की उच्चतम घात।
उदाहरण: $2x^3 + 5x^2 - 7$ की घात = 3, $4x^2 - 5x + 2 + 3x^4$ की घात = 4
$3x^4$ में $x$ तथा $y$ के घातांकों का योगफल = $4 + 0 = 4$

✏️ ध्यान दें

एक चर वाले बहुपद को उस चर की घातों के अवरोही क्रम (descending order) में लिखना सुविधाजनक होता है।

3 ➗ शून्य शेषफल वाला भाग (Division with Zero Remainder)

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जब भाग देने पर शेषफल शून्य प्राप्त होता है, तो भाजक और भागफल, भाज्य के गुणनखंड होते हैं।

📘 उदाहरण 1

$(-12 - 6x^2 + 17x)$ में $(2x - 3)$ से भाग दीजिए।

\[ \begin{array}{r|rrrr} & -3x & +4 \\ \hline 2x-3 & -6x^2 & +17x & -12 \\ & -6x^2 & +9x & \\ \cline{2-3} & & 8x & -12 \\ & & 8x & -12 \\ \cline{3-4} & & & 0 \end{array} \]

भागफल: $-3x + 4$ शेषफल: $0$

अतः $(-12 - 6x^2 + 17x) = (2x - 3)(-3x + 4)$

📐 व्यापक नियम

यदि शेषफल शून्य है, तो भाज्य = भाजक × भागफल। भाजक तथा भागफल दोनों गुणनखंड हैं।

📘 उदाहरण 2

$(2y^4 + 7y^2 + 8y^3 + 4y + 3)$ में $(3 + y)$ से भाग दीजिए।

भाज्य = $2y^4 + 8y^3 + 7y^2 + 4y + 3$, भाजक = $(y + 3)$

\[ \begin{array}{r|rrrrr} & 2y^3 & +2y^2 & +y & +1 \\ \hline y+3 & 2y^4 & +8y^3 & +7y^2 & +4y & +3 \\ & 2y^4 & +6y^3 & & & \\ \cline{2-3} & & 2y^3 & +7y^2 & & \\ & & 2y^3 & +6y^2 & & \\ \cline{3-4} & & & y^2 & +4y & \\ & & & y^2 & +3y & \\ \cline{4-5} & & & & y & +3 \\ & & & & y & +3 \\ \cline{5-6} & & & & & 0 \end{array} \]

शेषफल = 0 ⇒ $(y + 3)$ गुणनखंड है। भागफल = $2y^3 + 2y^2 + y + 1$ दूसरा गुणनखंड।

$(2y^4 + 8y^3 + 7y^2 + 4y + 3) = (y + 3)(2y^3 + 2y^2 + y + 1)$

⚠️ नोट

घटाते समय चिह्न बदलना न भूलें (+ → –, – → +)

4 ➗ शून्येतर शेषफल (Non‑zero Remainder)

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जब शेषफल शून्य नहीं होता, तब भाज्य = भाजक × भागफल + शेषफल।

📘 उदाहरण 3

$15x^3 - 20x^2 + 13x - 12$ में $3x - 6$ से भाग दीजिए।

\[ \begin{array}{r|rrrr} & 5x^2 & +\frac{10}{3}x & +11 \\ \hline 3x-6 & 15x^3 & -20x^2 & +13x & -12 \\ & 15x^3 & -30x^2 & & \\ \cline{2-3} & & 10x^2 & +13x & \\ & & 10x^2 & -20x & \\ \cline{3-4} & & & 33x & -12 \\ & & & 33x & -66 \\ \cline{4-5} & & & & 54 \end{array} \]

भागफल: $5x^2 + \frac{10}{3}x + 11$

शेषफल: $54$

📘 उदाहरण 4

$34x - 22x^3 - 12x^4 - 10x^2 - 75$ में $3x + 7$ से भाग दीजिए।

अवरोही क्रम: $-12x^4 - 22x^3 - 10x^2 + 34x - 75$

\[ \begin{array}{r|rrrrr} & -4x^3 & +2x^2 & -8x & +30 \\ \hline 3x+7 & -12x^4 & -22x^3 & -10x^2 & +34x & -75 \\ & -12x^4 & -28x^3 & & & \\ \cline{2-3} & & 6x^3 & -10x^2 & & \\ & & 6x^3 & +14x^2 & & \\ \cline{3-4} & & & -24x^2 & +34x & \\ & & & -24x^2 & -56x & \\ \cline{4-5} & & & & 90x & -75 \\ & & & & 90x & +210 \\ \cline{5-6} & & & & & -285 \end{array} \]

भागफल: $-4x^3 + 2x^2 - 8x + 30$

शेषफल: $-285$

📌 सत्यापन

भाज्य = भाजक × भागफल + शेषफल – सदैव सत्य है।

5 🔲 $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$

▼

$a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2 = (a+b)(a+b)$

📘 उदाहरण 6

$x^2 + 8x + 16 = x^2 + 2 \times x \times 4 + 4^2 = (x+4)^2$

✨ विधि

समूह बनाकर: $a^2 + 2ab + b^2 = a^2 + ab + ab + b^2 = a(a+b) + b(a+b) = (a+b)^2$

6 🔲 $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$

▼

$a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2 = (a-b)(a-b)$

📘 उदाहरण 7

$36 - 12k + k^2 = 6^2 - 2 \times 6 \times k + k^2 = (6-k)^2$

7 🔳 $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$

▼

$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$

📘 उदाहरण 16

$32a^4 - 162b^4 = 2(4a^2+9b^2)(2a+3b)(2a-3b)$

8 🔲 $ax^2 + bx + c$ के गुणनखंड

▼

दो संख्याएँ $l$ और $m$ चुनें जैसे कि $l+m = b$ और $lm = ac$।

📘 उदाहरण 24

$2x^2 + 9x - 5$: $l=10, m=-1$ ⇒ $2x^2+10x-x-5 = (x+5)(2x-1)$

📘 उदाहरण 27

$12x^3 - 14x^2 - 10x = 2x(6x^2-7x-5) = 2x(3x-5)(2x+1)\)

9 📖 सारांश – हमने क्या सीखा

▼

भाग: शून्य शेषफल → भाजक और भागफल गुणनखंड; शून्येतर → भाज्य = भाजक×भागफल + शेषफल।
गुणनखंड सर्वसमिकाएँ:
$a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$
$a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$
$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$
$x^2 + (a+b)x + ab = (x+a)(x+b)$
$ax^2 + bx + c$ के लिए $l+m = b,\; lm = ac$

✅ मुख्य बिंदु

बहुपदों का भाग एवं गुणनखंड बीजगणित के मूलभूत कौशल हैं। सर्वसमिकाओं का अभ्यास आवश्यक है।

🧠 माइंडमैप – बीजीय व्यंजकों का भाग एवं गुणनखण्ड

📐 अध्याय 5 – संपूर्ण सारांश

📖 बहुपद

घात एक चर अवरोही क्रम

➗ भाग

शून्य शेषफल शून्येतर भाज्य = भाजक×भागफल+शेष

🔲 (a+b)²

a²+2ab+b² (a+b)(a+b)

🔲 (a−b)²

a²−2ab+b² (a−b)(a−b)

🔳 a²−b²

(a+b)(a−b) वर्गों का अन्तर

🔲 ax²+bx+c

l+m = b lm = ac

🔑 निष्कर्ष

भाग और गुणनखंड सर्वसमिकाएँ बीजगणित की नींव

📐 निष्कर्ष: बहुपदों का भाग (शून्य/शून्येतर शेष) तथा गुणनखंड (सर्वसमिकाओं का उपयोग) – दोनों ही अत्यंत महत्वपूर्ण हैं। $a^2+2ab+b^2$, $a^2-2ab+b^2$, $a^2-b^2$, और $ax^2+bx+c$ के गुणनखंड – इन सभी का अभ्यास आवश्यक है।

🧩 मिलान अभ्यास – अध्याय 5: बीजीय व्यंजक

✅ प्रत्येक row में 6 विकल्प दिखेंगे – सही चुनें और तुरंत परिणाम देखें।

🧠 Practice Quiz – अध्याय 5: बीजीय व्यंजक

🎯 आपकी प्रगति

स्कोर: 0/0

✅ एक बार उत्तर चुनने के बाद बदला नहीं जा सकता।

📝 इस इकाई में हमने सीखा

✔ बहुपद – एक चर, घात, अवरोही क्रम

✔ शून्य शेषफल – भाज्य = भाजक × भागफल

✔ शून्येतर शेष – भाज्य = भाजक×भागफल + शेष

✔ $(a+b)^2$ – $a^2+2ab+b^2$

✔ $(a-b)^2$ – $a^2-2ab+b^2$

✔ $a^2-b^2$ – $(a+b)(a-b)$

✔ $x^2+(a+b)x+ab$ – $(x+a)(x+b)$

✔ $ax^2+bx+c$ – $l+m=b,\; lm=ac$