पूर्ण संख्याएँ: 0, 1, 2, 3, 4, ... — हमने इनके बारे में पिछले अध्याय में सीखा।

समस्या: छोटी पूर्ण संख्या से बड़ी पूर्ण संख्या को घटाने की आवश्यकता पड़ती है — जैसे 2 − 5 = ?

समाधान: इसके लिए प्राकृतिक संख्याओं 1, 2, 3, ... के संगत −1, −2, −3, ... नयी संख्याएँ बनाई गईं।

• पूर्णांक (Integers): पूर्ण संख्याओं का विस्तारित संग्रह — ..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...
• धन पूर्णांक (Positive Integers): 1, 2, 3, 4, ... (प्राकृतिक संख्याएँ)
• ऋण पूर्णांक (Negative Integers): −1, −2, −3, −4, ...
• शून्य (0): न तो धनात्मक, न ऋणात्मक

दैनिक जीवन में विपरीत स्थितियाँ:

पूर्णांक (Integers): सभी धनात्मक (+), ऋणात्मक (−) और शून्य (0) संख्याओं का समूह।

• धन पूर्णांक (Positive Integers): 1, 2, 3, 4, 5, ... — +1, +2, +3, ... (धन चिह्न प्रायः नहीं लिखा जाता)
• ऋण पूर्णांक (Negative Integers): −1, −2, −3, −4, −5, ...
• शून्य (Zero): 0 — न तो धनात्मक, न ऋणात्मक

प्राकृतिक, पूर्ण एवं पूर्णांकों का सम्बन्ध:

🔹 योगात्मक प्रतिलोम (Additive Inverse)

संख्या-रेखा (Number Line): एक सरल रेखा जिस पर बराबर अन्तराल पर पूर्णांकों को दर्शाया जाता है।

• 0 (शून्य): मध्य बिन्दु
• दायीं ओर: धन पूर्णांक (+1, +2, +3, ...)
• बायीं ओर: ऋण पूर्णांक (−1, −2, −3, ...)
• विपरीत पूर्णांक: 0 से समान दूरी पर विपरीत दिशा में — +5 और −5 परस्पर विपरीत हैं।

संख्या-रेखा पर तुलना: दो पूर्णांकों में से जो संख्या-रेखा पर दाहिनी ओर होती है, वह बड़ी होती है।

🔹 महत्वपूर्ण नियम

• प्रत्येक धन पूर्णांक सभी ऋण पूर्णांकों से बड़ा होता है।
• शून्य (0) प्रत्येक धन पूर्णांक से छोटा और प्रत्येक ऋण पूर्णांक से बड़ा होता है।
• बड़े पूर्णांक का योगात्मक प्रतिलोम छोटे पूर्णांक के योगात्मक प्रतिलोम से छोटा होता है — जैसे 5 > 3 ⇒ −5 < −3

निरपेक्ष मान (Absolute Value): किसी पूर्णांक की शून्य (0) से दूरी को उसका निरपेक्ष मान कहते हैं।

• प्रतीक: |a| — पूर्णांक a का निरपेक्ष मान
• |+6| = 6 और |−6| = 6 (दोनों की शून्य से दूरी 6 है)
• |0| = 0
• निरपेक्ष मान सदैव धनात्मक होता है (शून्य को छोड़कर)

🔹 निरपेक्ष मान के उदाहरण

🔹 समान चिह्नों के पूर्णांकों का योग

• दो धन पूर्णांकों का योग = धन पूर्णांक — जैसे (+2) + (+3) = +5
• दो ऋण पूर्णांकों का योग = ऋण पूर्णांक — जैसे (−3) + (−1) = −4
• नियम: निरपेक्ष मानों को जोड़ें और वही चिह्न लगाएँ।

🔹 विपरीत चिह्नों के पूर्णांकों का योग

• निरपेक्ष मानों का अन्तर करें और बड़े निरपेक्ष मान वाले पूर्णांक का चिह्न लगाएँ।
• उदाहरण: (−3) + (+4) = +1 — क्योंकि |4| − |3| = 1 और 4 का चिह्न धन (+)
• उदाहरण: (+5) + (−7) = −2 — क्योंकि |7| − |5| = 2 और 7 का चिह्न ऋण (−)

🔹 संख्या-रेखा पर योग

🔹 योग के गुणधर्म

• संवरक (Closure): दो पूर्णांकों का योग सदैव पूर्णांक होता है।
• क्रम-विनिमेय (Commutative): a + b = b + a
• साहचर्य (Associative): (a + b) + c = a + (b + c)
• तत्समक अवयव (Identity): a + 0 = a = 0 + a — 0 योग का तत्समक अवयव है।
• प्रत्येक पूर्णांक का अनुवर्ती: a + 1 = a का अनुवर्ती

घटाना = योगात्मक प्रतिलोम जोड़ना

• a − b = a + (−b) — पहली संख्या में दूसरी संख्या का योगात्मक प्रतिलोम जोड़ें।
• उदाहरण: (+5) − (+3) = (+5) + (−3) = +2
• उदाहरण: (−7) − (−4) = (−7) + (+4) = −3
• उदाहरण: (+2) − (−3) = (+2) + (+3) = +5
• उदाहरण: (−5) − (+2) = (−5) + (−2) = −7

🔹 गुणन के नियम

• धन × धन = धन — (+3) × (+5) = +15
• धन × ऋण = ऋण — (+4) × (−5) = −20
• ऋण × धन = ऋण — (−6) × (+3) = −18
• ऋण × ऋण = धन — (−2) × (−4) = +8

🔹 गुणन के गुणधर्म

• संवरक: दो पूर्णांकों का गुणनफल सदैव पूर्णांक होता है।
• क्रम-विनिमेय: a × b = b × a
• साहचर्य: (a × b) × c = a × (b × c)
• तत्समक अवयव: a × 1 = a = 1 × a — 1 गुणन का तत्समक अवयव है।
• शून्य का गुणन: a × 0 = 0 = 0 × a
• वितरण (Distributive): a × (b + c) = a × b + a × c

भाग = गुणन की विलोम संक्रिया

🔹 भाग के नियम

• धन ÷ धन = धन — 12 ÷ 3 = 4
• धन ÷ ऋण = ऋण — 12 ÷ (−3) = −4
• ऋण ÷ धन = ऋण — −12 ÷ 3 = −4
• ऋण ÷ ऋण = धन — −12 ÷ (−3) = 4

🔹 महत्वपूर्ण तथ्य

• शून्य को किसी शून्येतर पूर्णांक से भाग देने पर भागफल 0 होता है — 0 ÷ 5 = 0
• किसी संख्या को 0 से भाग देना परिभाषित नहीं है — 5 ÷ 0 = परिभाषित नहीं
• किसी शून्येतर पूर्णांक को स्वयं से भाग देने पर भागफल 1 होता है — 5 ÷ 5 = 1
• भाग संक्रिया संवरक नहीं है — दो पूर्णांकों का भागफल पूर्णांक नहीं हो सकता।

कोष्ठक (Brackets): गणना में अशुद्धियों से बचने के लिए कोष्ठकों का प्रयोग किया जाता है।

🔹 कोष्ठकों के प्रकार

🔹 BODMAS नियम