📐 चतुर्भुज (Quadrilaterals) – रचनाएँ
जानें कि चतुर्भुज (Quadrilateral) क्या है, उसके प्रकार – समान्तर चतुर्भुज, आयत, वर्ग, समचतुर्भुज, समलम्ब, पतंग – तथा चतुर्भुजों की रचना (Construction) विभिन्न स्थितियों में – चार भुजाएँ और एक विकर्ण, दो संलग्न भुजाएँ और कोण, तीन भुजाएँ और मध्यस्थ कोण, चार भुजाएँ और एक कोण।
📋 Chapter Overview – एक नज़र में
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📖 अध्याय सामग्री (Chapter Content)
चतुर्भुज (Quadrilateral): चार रेखाखण्डों से बनी बन्द आकृति।
- चार भुजाएँ (Sides): AB, BC, CD, DA
- चार शीर्ष (Vertices): A, B, C, D
- चार कोण (Angles): ∠A, ∠B, ∠C, ∠D
- दो विकर्ण (Diagonals): AC, BD
- चारों अन्तः कोणों का योग: 360°
📖 चतुर्भुज: 4 भुजाएँ, 4 शीर्ष, 4 कोण, 2 विकर्ण – कोणों का योग 360°
🔷 चतुर्भुज के 6 प्रकार: समान्तर चतुर्भुज, आयत, समचतुर्भुज, वर्ग, समलम्ब, पतंग
विधि: चतुर्भुज को दो त्रिभुजों में विभाजित करें – प्रत्येक त्रिभुज की तीन भुजाएँ ज्ञात हैं।
उदाहरण: चतुर्भुज ABCD बनाएँ जिसमें AB = 3.8 सेमी, BC = 2.6 सेमी, CD = 2.6 सेमी, AD = 2.3 सेमी, AC = 4.0 सेमी।
विश्लेषण: △ABC (AB=3.8, BC=2.6, AC=4.0) और △ADC (AD=2.3, CD=2.6, AC=4.0)
रचना चरणों का पालन करें – पहले △ABC बनाएँ, फिर △ADC।
अभीष्ट चतुर्भुज ABCD प्राप्त होता है।
📐 4 भुजाएँ + 1 विकर्ण: चतुर्भुज को दो त्रिभुजों में बाँटें – SSS सर्वांगसमता से रचना।
विधि: एक भुजा खींचें, दिए गए कोणों पर रेखाएँ खींचें, प्रतिच्छेद बिन्दु पर चौथा शीर्ष प्राप्त करें।
उदाहरण: चतुर्भुज ABCD बनाएँ – AB = 3.5 सेमी, BC = 6.5 सेमी, ∠B = 105°, ∠A = 75°, ∠C = 120°।
चरण: BC = 6.5 सेमी खींचें। B पर 105°, C पर 120° बनाएँ। 105° वाली रेखा पर AB = 3.5 सेमी काटें। A पर 75° बनाएँ – यह C वाली रेखा को D पर काटेगी।
ABCD अभीष्ट चतुर्भुज है।
📐 2 भुजाएँ + 3 कोण: चौथा कोण = 360° – (दिए गए तीन कोणों का योग)
विधि: दी गई भुजा (मध्य वाली) खींचें, दोनों सिरों पर कोण बनाएँ, दी गई भुजाएँ काटें, फिर मिलाएँ।
उदाहरण: चतुर्भुज ABCD बनाएँ – AB = 3.6 सेमी, BC = 5.5 सेमी, CD = 5.0 सेमी, ∠B = 125°, ∠C = 80°।
चरण: BC = 5.5 सेमी खींचें। B पर 125°, C पर 80° बनाएँ। B से AB = 3.6 सेमी, C से CD = 5.0 सेमी काटें। A और D को मिलाएँ।
ABCD अभीष्ट चतुर्भुज है।
📐 3 भुजाएँ + 2 कोण: मध्य भुजा के दोनों सिरों पर कोण बनाकर रचना।
विधि: दी गई भुजा और कोण से प्रारम्भ करें, फिर अन्य भुजाएँ काटें।
उदाहरण: चतुर्भुज ABCD बनाएँ – AB = 2.7 सेमी, BC = 3.5 सेमी, CD = 4 सेमी, AD = 6 सेमी, ∠B = 90°।
चरण: ∠XBY = 90° बनाएँ। B से BA = 2.7 सेमी और BC = 3.5 सेमी काटें। A से AD = 6 सेमी, C से CD = 4 सेमी चाप लगाएँ – प्रतिच्छेद बिन्दु D।
ABCD अभीष्ट चतुर्भुज है।
📐 4 भुजाएँ + 1 कोण: दिए गए कोण से प्रारम्भ करके भुजाएँ काटें, फिर चापों से चौथा शीर्ष ज्ञात करें।
अभ्यास 10(c) – 4 भुजाएँ + 1 विकर्ण
प्रश्न 1: चतुर्भुज ABCD की रचना कीजिए – AB = 3.8 सेमी, BC = 3 सेमी, AD = 2.3 सेमी, AC = 4.5 सेमी, BD = 3.8 सेमी। CD मापिए।
हल:
1. △ABD बनाएँ (AB=3.8, AD=2.3, BD=3.8) – तीन भुजाएँ ज्ञात हैं।
2. △ABC बनाएँ (AB=3.8, BC=3, AC=4.5) – तीन भुजाएँ ज्ञात हैं।
3. दोनों त्रिभुजों को AB भुजा पर संयोजित करें – ABCD प्राप्त होता है।
4. CD को मापें।
CD ≈ 3.2 सेमी (मापन पर निर्भर)
प्रश्न 2: एक समान्तर चतुर्भुज बनाइए, जिसकी एक भुजा 4.4 सेमी तथा दोनों विकर्ण क्रमशः 5.6 सेमी और 7.0 सेमी हों। दूसरी भुजा मापिए।
हल:
संकेत: समान्तर चतुर्भुज के विकर्ण एक दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।
1. विकर्ण AC = 7.0 सेमी खींचें और उसका मध्य-बिन्दु O ज्ञात करें (AO = OC = 3.5 सेमी)।
2. O से BD = 5.6 सेमी खींचें (BO = OD = 2.8 सेमी) – AC और BD परस्पर समद्विभाजित करते हैं।
3. A, B, C, D को मिलाएँ – समान्तर चतुर्भुज प्राप्त होता है।
4. AB (दी गई भुजा) = 4.4 सेमी, दूसरी भुजा BC मापें।
दूसरी भुजा ≈ 4.8 सेमी
अभ्यास 10(d) – 2 भुजाएँ + 3 कोण
प्रश्न 1: चतुर्भुज ABCD बनाइए – AB = 5.5 सेमी, BC = 3.7 सेमी, ∠A = 60°, ∠B = 105°, ∠D = 90°।
हल:
∠C = 360° – (60° + 105° + 90°) = 360° – 255° = 105°
1. AB = 5.5 सेमी खींचें।
2. A पर 60°, B पर 105° बनाएँ।
3. B से BC = 3.7 सेमी काटें (105° वाली रेखा पर)।
4. C पर 105° बनाएँ – यह A वाली रेखा को D पर काटेगी।
5. D पर 90° होगा (सत्यापन)।
ABCD अभीष्ट चतुर्भुज है।
अभ्यास 10(e) – 3 भुजाएँ + 2 कोण
प्रश्न 1: चतुर्भुज ABCD बनाइए – AB = 4.2 सेमी, BC = 3.6 सेमी, CD = 4.8 सेमी, ∠B = 30°, ∠C = 150°। AD मापिए।
हल:
1. BC = 3.6 सेमी खींचें।
2. B पर 30° का कोण बनाएँ, AB = 4.2 सेमी काटें → A प्राप्त होता है।
3. C पर 150° का कोण बनाएँ, CD = 4.8 सेमी काटें → D प्राप्त होता है।
4. A और D को मिलाएँ।
5. AD को मापें।
AD ≈ 6.5 सेमी (मापन पर निर्भर)
अभ्यास 10(f) – 4 भुजाएँ + 1 कोण
प्रश्न 1: चतुर्भुज ABCD बनाइए – AB = BC = 3 सेमी, AD = CD = 5 सेमी, ∠ABC = 120°।
हल:
1. ∠XBY = 120° बनाएँ।
2. B से BA = 3 सेमी और BC = 3 सेमी काटें (B पर 120°)।
3. A से AD = 5 सेमी, C से CD = 5 सेमी चाप लगाएँ – प्रतिच्छेद बिन्दु D।
4. A, B, C, D को मिलाएँ।
ABCD अभीष्ट चतुर्भुज (पतंग) है।
📝 अभ्यास: सभी रचनाओं में पटरी और परकार का प्रयोग करें – चरणों का क्रम महत्वपूर्ण है।
- चतुर्भुज: 4 भुजाएँ, 4 शीर्ष, 4 कोण, 2 विकर्ण – अन्तः कोणों का योग 360°
- चतुर्भुज के प्रकार: समान्तर चतुर्भुज, आयत, समचतुर्भुज, वर्ग, समलम्ब, पतंग
- उत्तल चतुर्भुज: प्रत्येक कोण 180° से कम; अवतल: एक कोण 180° से अधिक
- रचना – 4 भुजाएँ + 1 विकर्ण: चतुर्भुज को दो त्रिभुजों में बाँटें (SSS)
- रचना – 2 भुजाएँ + 3 कोण: चौथा कोण = 360° – (दिए गए तीन कोणों का योग)
- रचना – 3 भुजाएँ + 2 कोण: मध्य भुजा के सिरों पर कोण बनाएँ
- रचना – 4 भुजाएँ + 1 कोण: दिए गए कोण से प्रारम्भ करें, भुजाएँ काटें, चापों से चौथा शीर्ष
- समान्तर चतुर्भुज के विकर्ण: परस्पर समद्विभाजित करते हैं
- वर्ग/आयत: विकर्ण बराबर होते हैं
- समचतुर्भुज के विकर्ण: समकोण पर समद्विभाजित करते हैं
✅ मुख्य बिंदु
चतुर्भुज – ज्यामिति की महत्वपूर्ण आकृति। चतुर्भुज की रचना के लिए विभिन्न स्थितियों में अलग-अलग डेटा की आवश्यकता होती है। चार भुजाएँ और एक विकर्ण, दो भुजाएँ और तीन कोण, तीन भुजाएँ और दो कोण, चार भुजाएँ और एक कोण – इन सभी स्थितियों में चतुर्भुज की रचना संभव है। विशेष चतुर्भुजों (आयत, वर्ग, समान्तर चतुर्भुज, समचतुर्भुज) के गुणों का उपयोग करके रचना सरल हो जाती है।
🧠 माइंडमैप – चतुर्भुज (रचनाएँ)
🧩 मिलान अभ्यास – अध्याय 10: चतुर्भुज
✅ प्रत्येक row में 6 विकल्प दिखेंगे – सही चुनें और तुरंत परिणाम देखें।
🧠 Practice Quiz – अध्याय 10: चतुर्भुज
✅ एक बार उत्तर चुनने के बाद बदला नहीं जा सकता।