📊 दो चर राशि वाले रैखिक समीकरण
जानें कि युगपत समीकरण (Simultaneous Equations) क्या हैं, प्रतिस्थापन विधि और विलोपन विधि द्वारा हल करना, तथा संख्या, भिन्न, आयु, ज्यामिति और अन्य व्यावहारिक प्रश्नों को हल करना।
📋 Chapter Overview – एक नज़र में
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📖 अध्याय सामग्री (Chapter Content)
रैखिक समीकरण (Linear Equation): \(ax + by + c = 0\) के रूप का समीकरण, जहाँ \(a, b, c\) अचर हैं तथा \(a\) और \(b\) एक साथ शून्य नहीं हैं।
- दो चर: x और y – दो अज्ञात राशियाँ
- युगपत समीकरण (Simultaneous Equations): दो रैखिक समीकरण जिन्हें एक साथ हल किया जाता है।
- हल (Solution) – x और y के वे मान जो दोनों समीकरणों को संतुष्ट करते हैं।
📖 युगपत समीकरण: दो रैखिक समीकरण – \(a_1x + b_1y + c_1 = 0\) और \(a_2x + b_2y + c_2 = 0\)
युगपत समीकरण (Simultaneous Equations): दो अज्ञात चर वाले दो रैखिक समीकरण जिन्हें एक साथ हल किया जाता है।
तीन स्थितियाँ:
उदाहरण 1: \(x + 3y = 5\) और \(2x + 6y = 10\)
\(\frac{1}{2} = \frac{3}{6} = \frac{5}{10}\) → अनंत हल
उदाहरण 2: \(x + 3y = 5\) और \(2x + 6y = 7\)
\(\frac{1}{2} = \frac{3}{6} \neq \frac{5}{7}\) → कोई हल नहीं
उदाहरण 3: \(x + 2y = 7\) और \(2x + y = 5\)
\(\frac{1}{2} \neq \frac{2}{1}\) → अद्वितीय हल
युगपत समीकरण के लिए \(\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}\) आवश्यक है।
🔗 युगपत समीकरण: \(\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}\) → अद्वितीय हल
उदाहरण 1: \(x + 2y = 7\) ... (1) और \(2x + y = 5\) ... (2)
समीकरण (1) से: \(x = 7 - 2y\)
समीकरण (2) में प्रतिस्थापित करने पर: \(2(7 - 2y) + y = 5\)
\(14 - 4y + y = 5\) → \(-3y = -9\) → \(y = 3\)
\(x = 7 - 2 \times 3 = 1\)
हल: \(x = 1, y = 3\)
उदाहरण 2: \(x - y = 4\) ... (1) और \(3x + 2y = 27\) ... (2)
समीकरण (1) से: \(x = 4 + y\)
समीकरण (2) में: \(3(4+y) + 2y = 27\) → \(12 + 3y + 2y = 27\) → \(5y = 15\) → \(y = 3\)
\(x = 4 + 3 = 7\)
हल: \(x = 7, y = 3\)
🔄 प्रतिस्थापन विधि: एक चर का मान दूसरे के पद में – फिर प्रतिस्थापित करें।
उदाहरण 1: \(x + y = 7\) ... (1) और \(2x - y = 8\) ... (2)
y के गुणांक समान एवं विपरीत हैं – समीकरण जोड़ें:
\(3x = 15\) → \(x = 5\)
समीकरण (1) में: \(5 + y = 7\) → \(y = 2\)
हल: \(x = 5, y = 2\)
उदाहरण 2: \(7x - 6y = 20\) ... (1) और \(3x + 4y = 2\) ... (2)
y के गुणांक समान करें: (1)×2 → \(14x - 12y = 40\), (2)×3 → \(9x + 12y = 6\)
जोड़ने पर: \(23x = 46\) → \(x = 2\)
समीकरण (1) में: \(7(2) - 6y = 20\) → \(14 - 6y = 20\) → \(-6y = 6\) → \(y = -1\)
हल: \(x = 2, y = -1\)
उदाहरण 3: \(x + 2y = 5\) ... (1) और \(x + 3y = 7\) ... (2)
x के गुणांक समान हैं – घटाएँ: (2) − (1) → \(y = 2\)
समीकरण (1) में: \(x + 2(2) = 5\) → \(x = 1\)
हल: \(x = 1, y = 2\)
➖ विलोपन विधि: किसी चर के गुणांक समान करके – जोड़ें/घटाएँ – चर विलोपित करें।
संख्या सम्बन्धी प्रश्न
उदाहरण 1: एक आयत की लम्बाई, चौड़ाई से 5 सेमी अधिक है। परिमाप 40 सेमी है। लम्बाई और चौड़ाई ज्ञात कीजिए।
माना लम्बाई = \(x\), चौड़ाई = \(y\)
\(x - y = 5\) ... (1) और \(2(x + y) = 40\) → \(x + y = 20\) ... (2)
जोड़ने पर: \(2x = 25\) → \(x = 12.5\), \(y = 7.5\)
लम्बाई = 12.5 सेमी, चौड़ाई = 7.5 सेमी
उदाहरण 2: 3 वॉलीबॉल और 5 मग का मूल्य ₹1000 है। 5 वॉलीबॉल और 2 मग का मूल्य ₹970 है। प्रत्येक का मूल्य ज्ञात कीजिए।
माना वॉलीबॉल का मूल्य = \(x\), मग का मूल्य = \(y\)
\(3x + 5y = 1000\) ... (1), \(5x + 2y = 970\) ... (2)
गुणा करके विलोपन: (1)×5 → \(15x + 25y = 5000\), (2)×3 → \(15x + 6y = 2910\)
घटाने पर: \(19y = 2090\) → \(y = 110\), \(x = 150\)
वॉलीबॉल = ₹150, मग = ₹110
भिन्न सम्बन्धी प्रश्न
उदाहरण: किसी भिन्न के अंश और हर में से 1 घटाने पर भिन्न का मान \( \frac{1}{5} \) होता है। अंश और हर में 1 जोड़ने पर \( \frac{1}{3} \) होता है। भिन्न ज्ञात कीजिए।
माना भिन्न = \(\frac{x}{y}\)
\(\frac{x-1}{y-1} = \frac{1}{5}\) → \(5x - 5 = y - 1\) → \(5x - y = 4\) ... (1)
\(\frac{x+1}{y+1} = \frac{1}{3}\) → \(3x + 3 = y + 1\) → \(3x - y = -2\) ... (2)
घटाने पर: \(2x = 6\) → \(x = 3\), \(y = 11\)
भिन्न = \(\frac{3}{11}\)
🔢 संख्या/भिन्न: दो अज्ञात मानकर दो शर्तों से समीकरण बनाएँ।
उदाहरण 1: 5 वर्ष पहले पिता की आयु पुत्र की आयु की 3 गुनी थी। 10 वर्ष बाद पिता की आयु पुत्र की आयु की 2 गुनी हो जाएगी। वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए।
माना पिता की वर्तमान आयु = \(x\), पुत्र की = \(y\)
5 वर्ष पहले: \(x - 5 = 3(y - 5)\) → \(x - 3y = -10\) ... (1)
10 वर्ष बाद: \(x + 10 = 2(y + 10)\) → \(x - 2y = 10\) ... (2)
घटाने पर: \(y = 20\), \(x = 50\)
पिता = 50 वर्ष, पुत्र = 20 वर्ष
उदाहरण 2: एक आदमी की आयु अपने पुत्र की आयु की 4 गुनी है। 18 वर्ष बाद वह दुगुनी होगी। वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए।
माना पिता = \(x\), पुत्र = \(y\)
\(x = 4y\) ... (1), \(x + 18 = 2(y + 18)\) → \(x - 2y = 18\) ... (2)
(1) से (2) में: \(4y - 2y = 18\) → \(2y = 18\) → \(y = 9\), \(x = 36\)
पिता = 36 वर्ष, पुत्र = 9 वर्ष
👤 आयु सम्बन्धी: वर्तमान आयु को x, y मानें – 'पहले' घटाएँ, 'बाद' जोड़ें।
उदाहरण: समान्तर चतुर्भुज ABCD में ∠A और ∠B का अनुपात 1:2 है। सभी कोण ज्ञात कीजिए।
माना ∠A = \(x\), ∠B = \(2x\)
समान्तर चतुर्भुज के संलग्न कोणों का योग = 180°
\(x + 2x = 180°\) → \(3x = 180°\) → \(x = 60°\)
∠A = 60°, ∠B = 120°
सम्मुख कोण समान → ∠C = 60°, ∠D = 120°
∠A = 60°, ∠B = 120°, ∠C = 60°, ∠D = 120°
📐 ज्यामिति सम्बन्धी: कोणों के लिए अनुपात और गुणों का उपयोग करें।
- रैखिक समीकरण: \(ax + by + c = 0\) – दो चर x और y
- युगपत समीकरण: दो रैखिक समीकरण – एक साथ हल
- अद्वितीय हल: \(\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}\)
- प्रतिस्थापन विधि: एक चर का मान दूसरे के पद में – प्रतिस्थापित करें
- विलोपन विधि: चर के गुणांक समान करें – जोड़ें/घटाएँ
- व्यावहारिक प्रश्न: संख्या, भिन्न, आयु, ज्यामिति, अनुपात, प्रतिशत
- सत्यापन: प्राप्त मानों को मूल समीकरणों में रखकर जाँच करें
✅ मुख्य बिंदु
दो चर वाले रैखिक समीकरण – गणित की महत्वपूर्ण अवधारणा। युगपत समीकरणों का हल प्रतिस्थापन या विलोपन विधि से ज्ञात किया जा सकता है। व्यावहारिक प्रश्नों – संख्या, भिन्न, आयु, ज्यामिति – को युगपत समीकरणों में रूपान्तरित करके हल करना सरल और सुविधाजनक है। सत्यापन से उत्तर की शुद्धता सुनिश्चित होती है।
🧠 माइंडमैप – दो चर राशि वाले रैखिक समीकरण
🧩 मिलान अभ्यास – अध्याय 7: दो चर राशि वाले रैखिक समीकरण
✅ प्रत्येक row में 6 विकल्प दिखेंगे – सही चुनें और तुरंत परिणाम देखें।
🧠 Practice Quiz – अध्याय 7: दो चर राशि वाले रैखिक समीकरण
✅ एक बार उत्तर चुनने के बाद बदला नहीं जा सकता।