अध्याय 1: परिमेय संख्याएँ – Junior School Online

📐 Mathematics – Class 8 – Chapter 1

📊 परिमेय संख्याएँ (Rational Numbers)

जानें कि परिमेय संख्याएँ क्या हैं, उनका योग, घटाना, गुणा और भाग, योगात्मक एवं गुणात्मक प्रतिलोम, निरपेक्ष मान, दो परिमेय संख्याओं के बीच परिमेय संख्याएँ, तथा दशमलव रूप में निरूपण।

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📋 Chapter Overview – एक नज़र में

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गुणा (Multiplication)

📖 अध्याय सामग्री (Chapter Content)

1 📖 परिमेय संख्या – परिचय (Introduction)

▼

परिमेय संख्या (Rational Number) – वह संख्या जिसे \(\frac{p}{q}\) के रूप में लिखा जा सके, जहाँ \(p\) और \(q\) पूर्णांक हों तथा \(q \neq 0\)।

उदाहरण: \(\frac{3}{5}, -\frac{4}{7}, 2 = \frac{2}{1}, 0 = \frac{0}{1}\)
सभी पूर्णांक परिमेय संख्याएँ हैं (क्योंकि उन्हें \(\frac{p}{1}\) के रूप में लिखा जा सकता है।)
हर (Denominator) कभी शून्य नहीं हो सकता।
परिमेय संख्याओं को संख्या रेखा (Number Line) पर दर्शाया जा सकता है।

📖 परिमेय संख्या: \(\frac{p}{q}\) जहाँ \(p, q \in Z\), \(q \neq 0\)

संख्या रेखा पर परिमेय संख्याएँ

चित्र 1.1: संख्या रेखा पर परिमेय संख्याएँ

2 ➕ परिमेय संख्याओं का योग (Addition)

▼

समान हर वाली संख्याओं का योग

\(\frac{p}{q} + \frac{r}{q} = \frac{p+r}{q}\)

उदाहरण 1: \(\frac{3}{5} + \left(-\frac{13}{5}\right) = \frac{3-13}{5} = \frac{-10}{5} = -2\)

उदाहरण 2: \(\frac{4}{7} + \left(-\frac{8}{7}\right) = \frac{4-8}{7} = \frac{-4}{7}\)

उदाहरण 3: \(-\frac{4}{9} + \left(-\frac{2}{9}\right) = \frac{-4-2}{9} = \frac{-6}{9} = -\frac{2}{3}\)

भिन्न हर वाली संख्याओं का योग

\(\frac{p}{q} + \frac{r}{s} = \frac{p \times s + r \times q}{q \times s}\) (हरों का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) लेकर)

उदाहरण: \(\frac{1}{4} + \left(-\frac{5}{6}\right)\)

हरों का LCM = 12

\(\frac{1}{4} = \frac{3}{12}, \quad -\frac{5}{6} = -\frac{10}{12}\)

\(\frac{3}{12} + \left(-\frac{10}{12}\right) = \frac{3-10}{12} = \frac{-7}{12}\)

\(\frac{1}{4} + \left(-\frac{5}{6}\right) = -\frac{7}{12}\)

➕ योग के गुण: संवरक (Closure), क्रम विनिमेय (Commutative), साहचर्य (Associative)

3 ➖ परिमेय संख्याओं का घटाना (Subtraction)

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\(\frac{p}{q} - \frac{r}{q} = \frac{p-r}{q}\) (समान हर के लिए) \(\frac{p}{q} - \frac{r}{s} = \frac{p \times s - r \times q}{q \times s}\) (भिन्न हर के लिए – LCM लेकर)

उदाहरण 1: \(\left(-\frac{4}{7}\right) - \left(-\frac{12}{7}\right) = \frac{-4 - (-12)}{7} = \frac{-4+12}{7} = \frac{8}{7}\)

उदाहरण 2: \(\left(-\frac{5}{4}\right) - \left(\frac{5}{-6}\right) = -\frac{5}{4} - \left(-\frac{5}{6}\right) = -\frac{15}{12} + \frac{10}{12} = -\frac{5}{12}\)

उदाहरण 3: \(\frac{11}{24} - \left(\frac{8}{9}\right) = \frac{11}{24} - \frac{8}{9} = \frac{33 - 64}{72} = \frac{-31}{72}\)

प्रश्न: दो परिमेय संख्याओं का योगफल \(-\frac{1}{2}\) है। यदि एक संख्या \(-\frac{8}{19}\) है, तो दूसरी संख्या ज्ञात कीजिए।

हल: दूसरी संख्या = \(-\frac{1}{2} - \left(-\frac{8}{19}\right) = -\frac{1}{2} + \frac{8}{19} = \frac{-19 + 16}{38} = \frac{-3}{38}\)

दूसरी संख्या = \(\frac{-3}{38}\)

➖ घटाने में क्रम विनिमेय नियम नहीं लगता है।

4 ✖️ परिमेय संख्याओं का गुणा (Multiplication)

▼

\(\frac{p}{q} \times \frac{r}{s} = \frac{p \times r}{q \times s}\)

उदाहरण 1: \(\frac{3}{6} \times \frac{4}{7} = \frac{3 \times 4}{6 \times 7} = \frac{12}{42} = \frac{2}{7}\)

उदाहरण 2: \(\frac{14}{9} \times (-27) = \frac{14}{9} \times \frac{-27}{1} = \frac{-378}{9} = -42\)

उदाहरण 3: \(\left(-\frac{8}{7}\right) \times \left(\frac{-14}{-15}\right) = \frac{(-8) \times (-14)}{7 \times (-15)} = \frac{112}{-105} = -\frac{16}{15}\)

गुणा के गुण (Properties)

संवरक (Closure): दो परिमेय संख्याओं का गुणनफल परिमेय होता है।

क्रम विनिमेय: \(\frac{p}{q} \times \frac{r}{s} = \frac{r}{s} \times \frac{p}{q}\)

साहचर्य: \((a \times b) \times c = a \times (b \times c)\)

वितरण (Distributive): \(a \times (b + c) = a \times b + a \times c\)

तत्समक (Identity): \(\frac{p}{q} \times 1 = \frac{p}{q}\)

शून्य से गुणा: \(\frac{p}{q} \times 0 = 0\)

गुणात्मक प्रतिलोम (Multiplicative Inverse):

\(\frac{p}{q}\) का गुणात्मक प्रतिलोम \(\frac{q}{p}\) है, जहाँ \(p \neq 0\)।

उदाहरण: \(\frac{3}{5}\) का गुणात्मक प्रतिलोम \(\frac{5}{3}\) है।

\(\frac{3}{5} \times \frac{5}{3} = 1\)

✖️ गुणा: संवरक, क्रम विनिमेय, साहचर्य, वितरण – सभी गुण लागू होते हैं।

5 ➗ परिमेय संख्याओं का भाग (Division)

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\(\frac{p}{q} \div \frac{r}{s} = \frac{p}{q} \times \frac{s}{r} = \frac{p \times s}{q \times r}\) (जहाँ \(\frac{r}{s} \neq 0\) अर्थात् \(r \neq 0\))

उदाहरण 1: \(\frac{3}{5} \div \frac{7}{10} = \frac{3}{5} \times \frac{10}{7} = \frac{30}{35} = \frac{6}{7}\)

उदाहरण 2: \(-\frac{4}{9} \div \left(-\frac{4}{9}\right) = -\frac{4}{9} \times \left(-\frac{9}{4}\right) = \frac{36}{36} = 1\)

उदाहरण 3: \(\frac{1}{-6} \div (-1) = \frac{1}{-6} \times \frac{1}{-1} = \frac{1}{6}\)

प्रश्न: \(\left(-\frac{6}{15}\right) \div \frac{6}{15}\) का मान ज्ञात कीजिए।

हल: \(\left(-\frac{6}{15}\right) \times \frac{15}{6} = -\frac{90}{90} = -1\)

\(\left(-\frac{6}{15}\right) \div \frac{6}{15} = -1\)

➗ भाग: पहली संख्या को दूसरी संख्या के गुणात्मक प्रतिलोम से गुणा करें।

⚠️ शून्य से भाग देना संभव नहीं है।

6 📏 निरपेक्ष मान (Absolute Value)

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निरपेक्ष मान (Absolute Value): किसी परिमेय संख्या का संख्यात्मक मान, चिह्न (धन/ऋण) को हटाकर।

\(\left|\frac{p}{q}\right| = \begin{cases} \frac{p}{q}, & \text{यदि } \frac{p}{q} > 0 \\ -\frac{p}{q}, & \text{यदि } \frac{p}{q} < 0 \\ 0, & \text{यदि } \frac{p}{q} = 0 \end{cases}\)

उदाहरण 1: \(\left|-\frac{4}{5}\right| = \frac{4}{5}\)

उदाहरण 2: \(\left|\frac{3}{7}\right| = \frac{3}{7}\)

उदाहरण 3: \(|0| = 0\)

उदाहरण 4: यदि \(x = -\frac{4}{5}\) और \(y = \frac{3}{7}\), तो

\(|x + y| = \left|-\frac{4}{5} + \frac{3}{7}\right| = \left|\frac{-28+15}{35}\right| = \left|\frac{-13}{35}\right| = \frac{13}{35}\)

\(|x| + |y| = \frac{4}{5} + \frac{3}{7} = \frac{43}{35}\)

\(|x + y| \le |x| + |y|\) (त्रिभुज असमिका)

📏 निरपेक्ष मान: हमेशा धनात्मक या शून्य होता है, कभी ऋणात्मक नहीं।

7 ↔️ दो परिमेय संख्याओं के बीच संख्याएँ

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महत्वपूर्ण तथ्य: दो परिमेय संख्याओं के बीच अनंत (अपरिमित) परिमेय संख्याएँ होती हैं।

उदाहरण: \(-2\) और \(-1\) के बीच 6 परिमेय संख्याएँ ज्ञात करें।

हल: \(-2 = \frac{-10}{5}\) और \(-1 = \frac{-5}{5}\)

\(\frac{-10}{5}, \frac{-9}{5}, \frac{-8}{5}, \frac{-7}{5}, \frac{-6}{5}, \frac{-5}{5}\)

अतः \(-2\) और \(-1\) के बीच परिमेय संख्याएँ:

\(-\frac{9}{5}, -\frac{8}{5}, -\frac{7}{5}, -\frac{6}{5}, -\frac{4}{5}, -\frac{3}{5}\) (अन्य भी हो सकती हैं)

विधि: दोनों संख्याओं को समान हर में बदलें, फिर बीच की संख्याएँ चुनें।

उदाहरण: \(\frac{1}{2}\) और \(\frac{3}{4}\) के बीच 3 परिमेय संख्याएँ ज्ञात करें।

हल: \(\frac{1}{2} = \frac{2}{4}\) और \(\frac{3}{4}\)

अंश बढ़ाएँ: \(\frac{2}{4} = \frac{8}{16}, \frac{3}{4} = \frac{12}{16}\)

\(\frac{9}{16}, \frac{10}{16} = \frac{5}{8}, \frac{11}{16}\)

↔️ दो परिमेय संख्याओं के बीच अनंत परिमेय संख्याएँ होती हैं।

8 🔢 दशमलव रूप (Decimal Form)

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(अ) सान्त (Terminating) दशमलव

उदाहरण: \(\frac{3}{4} = 3 \div 4 = 0.75\)

\(\frac{5}{8} = 0.625\)

\(\frac{7}{5} = 1.4\)

नियम: यदि हर के अभाज्य गुणनखण्ड केवल 2 या 5 (या दोनों) हों, तो संख्या सान्त दशमलव में बदलती है।

(ब) असान्त आवर्ती (Non-terminating Recurring) दशमलव

उदाहरण: \(\frac{7}{11} = 0.636363... = 0.\overline{63}\)

\(\frac{1}{3} = 0.333... = 0.\overline{3}\)

\(\frac{1}{7} = 0.142857142857... = 0.\overline{142857}\)

नियम: यदि हर के अभाज्य गुणनखण्ड में 2 और 5 के अतिरिक्त कोई अन्य अभाज्य संख्या हो, तो संख्या असान्त आवर्ती दशमलव में बदलती है।

दशमलव को परिमेय संख्या में बदलना

उदाहरण 1: \(0.15 = \frac{15}{100} = \frac{3}{20}\)

उदाहरण 2: \(1.5 = 1 + \frac{5}{10} = \frac{15}{10} = \frac{3}{2}\)

उदाहरण 3: \(0.625 = \frac{625}{1000} = \frac{5}{8}\)

उदाहरण 4: \(12.05 = \frac{1205}{100} = \frac{241}{20}\)

उदाहरण 5: \(2.125 = \frac{2125}{1000} = \frac{17}{8}\)

🔢 सान्त दशमलव: हर में केवल 2 और 5 होने पर।
असान्त आवर्ती: हर में 2 और 5 के अतिरिक्त अन्य गुणनखण्ड होने पर।

9 📖 सारांश – हमने क्या सीखा

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परिमेय संख्या: \(\frac{p}{q}\), \(q \neq 0\) – सभी पूर्णांक, भिन्न, सान्त और असान्त आवर्ती दशमलव संख्याएँ परिमेय हैं।
योग: समान हर – अंशों का योग; भिन्न हर – LCM लें।
घटाना: योग की तरह, परन्तु क्रम विनिमेय नहीं।
गुणा: अंश × अंश, हर × हर – संवरक, क्रम विनिमेय, साहचर्य, वितरण गुण लागू।
भाग: पहली संख्या × दूसरी का गुणात्मक प्रतिलोम।
योगात्मक प्रतिलोम: \(\frac{p}{q}\) का \(-\frac{p}{q}\) – योग = 0
गुणात्मक प्रतिलोम: \(\frac{p}{q}\) का \(\frac{q}{p}\) – गुणनफल = 1
निरपेक्ष मान: चिह्न रहित संख्यात्मक मान – \(|x| \ge 0\)
दो परिमेय संख्याओं के बीच अनंत परिमेय संख्याएँ।
दशमलव रूप: सान्त (हर में केवल 2 और 5) और असान्त आवर्ती (अन्य गुणनखण्ड)।

✅ मुख्य बिंदु

परिमेय संख्याएँ गणित की आधारशिला हैं। इनके योग, घटाना, गुणा, भाग, प्रतिलोम, निरपेक्ष मान – सभी संक्रियाएँ महत्वपूर्ण हैं। दो परिमेय संख्याओं के बीच अनंत संख्याएँ होती हैं – यह अवधारणा अद्वितीय है। दशमलव रूप – सान्त एवं असान्त आवर्ती – परिमेय संख्याओं की पहचान में सहायक हैं।

🧠 माइंडमैप – परिमेय संख्याएँ

📐 अध्याय 1 – संपूर्ण सारांश

📖 परिमेय संख्या

p/q, q≠0 पूर्णांक, भिन्न संख्या रेखा पर

➕ योग

समान हर → अंश जोड़ें भिन्न हर → LCM संवरक, क्रम विनिमेय साहचर्य

➖ घटाना

समान हर → अंश घटाएँ भिन्न हर → LCM क्रम विनिमेय नहीं

✖️ गुणा

अंश × अंश, हर × हर संवरक, क्रम विनिमेय साहचर्य, वितरण तत्समक (1)

➗ भाग

पहली × दूसरी का प्रतिलोम शून्य से भाग नहीं

📏 निरपेक्ष मान

|x| ≥ 0 चिह्न रहित मान |x+y| ≤ |x|+|y| |xy| = |x|×|y|

↔️ दो के बीच

अनंत संख्याएँ समान हर बनाएँ अंशों के बीच चुनें

🔢 दशमलव रूप

सान्त – 2 और 5 असान्त आवर्ती दशमलव → p/q

🔑 निष्कर्ष

परिमेय – सभी संक्रियाएँ प्रतिलोम – महत्वपूर्ण दशमलव – पहचान गणित की नींव

📐 निष्कर्ष: परिमेय संख्याएँ (Rational Numbers) – \(\frac{p}{q}\) के रूप में, जहाँ \(p, q \in Z, q \neq 0\)। योग, घटाना, गुणा, भाग – सभी संक्रियाएँ परिमेय संख्याओं पर परिभाषित हैं। योगात्मक प्रतिलोम (\(-x\)) और गुणात्मक प्रतिलोम (\(\frac{1}{x}\)) महत्वपूर्ण अवधारणाएँ हैं। दो परिमेय संख्याओं के बीच अनंत परिमेय संख्याएँ होती हैं। दशमलव रूप – सान्त (हर में केवल 2 और 5) और असान्त आवर्ती – परिमेय संख्याओं की पहचान की कुंजी है।

🧩 मिलान अभ्यास – अध्याय 1: परिमेय संख्याएँ

✅ प्रत्येक row में 6 विकल्प दिखेंगे – सही चुनें और तुरंत परिणाम देखें।

🧠 Practice Quiz – अध्याय 1: परिमेय संख्याएँ

🎯 आपकी प्रगति

स्कोर: 0/0

✅ एक बार उत्तर चुनने के बाद बदला नहीं जा सकता।

📝 इस इकाई में हमने सीखा

✔ परिमेय संख्या – p/q, q≠0

✔ योग – समान हर: अंश जोड़ें

✔ योग – भिन्न हर: LCM

✔ घटाना – क्रम विनिमेय नहीं

✔ गुणा – अंश×अंश, हर×हर

✔ गुणात्मक प्रतिलोम – p/q → q/p

✔ योगात्मक प्रतिलोम – p/q → -p/q

✔ भाग – पहली × दूसरी का प्रतिलोम

✔ निरपेक्ष मान – |x| ≥ 0

✔ दो के बीच – अनंत संख्याएँ

✔ सान्त दशमलव – हर में 2,5

✔ असान्त आवर्ती – अन्य अभाज्य