📐 चतुर्भुज (Quadrilaterals)
जानें कि चतुर्भुज (Quadrilateral) क्या है, चतुर्भुज के प्रकार – समान्तर चतुर्भुज, आयत, वर्ग, समचतुर्भुज, समलम्ब, पतंग – तथा उनके गुणों (Properties) को विस्तार से समझें।
📋 Chapter Overview – एक नज़र में
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📖 अध्याय सामग्री (Chapter Content)
चतुर्भुज (Quadrilateral) – चार रेखाखण्डों से बनी बन्द आकृति।
- चार भुजाएँ (Sides): AB, BC, CD, DA
- चार शीर्ष (Vertices): A, B, C, D
- चार कोण (Angles): ∠A, ∠B, ∠C, ∠D
- दो विकर्ण (Diagonals): AC, BD
📖 चतुर्भुज: चार भुजाओं वाली बन्द आकृति – जिसमें 4 भुजाएँ, 4 शीर्ष, 4 कोण और 2 विकर्ण होते हैं।
संलग्न भुजाएँ (Adjacent Sides): AB और BC, BC और CD, CD और DA, DA और AB
सम्मुख भुजाएँ (Opposite Sides): AB और CD, BC और AD
सम्मुख कोण (Opposite Angles): ∠A और ∠C, ∠B और ∠D
🔷 चतुर्भुज के 6 प्रकार: समान्तर चतुर्भुज, आयत, समचतुर्भुज, वर्ग, समलम्ब, पतंग
प्रमाण (क्रियाकलाप द्वारा): चतुर्भुज के चारों कोणों को काटकर एक विन्दु पर रखने पर वे 360° का पूरा चक्कर (Complete Angle) बनाते हैं।
उदाहरण: यदि चतुर्भुज के तीन कोण 80°, 100°, 120° हैं, तो चौथा कोण = 360° – (80°+100°+120°) = 60°
📐 अन्तः कोणों का योग: किसी भी चतुर्भुज के चारों अन्तः कोणों का योग 360° होता है।
🔑 उत्तल एवं अवतल चतुर्भुज
उत्तल (Convex): प्रत्येक अन्तः कोण 180° से कम – हम इसी का अध्ययन करते हैं।
अवतल (Concave): कोई एक अन्तः कोण 180° से अधिक।
AB ∥ DC और BC ∥ AD
AB = DC और BC = AD
∠A = ∠C और ∠B = ∠D
AO = OC और BO = OD
∠A + ∠B = 180°, ∠B + ∠C = 180°
▱ समान्तर चतुर्भुज: सम्मुख भुजाएँ समान्तर एवं समान, सम्मुख कोण समान, विकर्ण परस्पर समद्विभाजित करते हैं।
▭ आयत (Rectangle)
- समान्तर चतुर्भुज है।
- चारों अन्तः कोण समकोण (90°) होते हैं।
- विकर्ण समान होते हैं तथा परस्पर समद्विभाजित करते हैं।
◇ समचतुर्भुज (Rhombus)
- समान्तर चतुर्भुज है।
- सभी भुजाएँ बराबर होती हैं।
- विकर्ण परस्पर समकोण पर समद्विभाजित करते हैं।
⬛ वर्ग (Square)
- आयत भी है और समचतुर्भुज भी।
- सभी भुजाएँ बराबर और सभी कोण समकोण।
- विकर्ण समान होते हैं तथा परस्पर समकोण पर समद्विभाजित करते हैं।
सारणी – गुणों की तुलना:
⭐ विशेष चतुर्भुज: आयत (समकोण), समचतुर्भुज (बराबर भुजाएँ), वर्ग (दोनों)
- चतुर्भुज: 4 भुजाएँ, 4 शीर्ष, 4 कोण, 2 विकर्ण
- अन्तः कोणों का योग: 360°
- समान्तर चतुर्भुज: सम्मुख भुजाएँ समान्तर व समान, सम्मुख कोण समान, विकर्ण समद्विभाजित
- आयत: समान्तर चतुर्भुज + 4 समकोण, विकर्ण समान
- समचतुर्भुज: समान्तर चतुर्भुज + 4 बराबर भुजाएँ, विकर्ण समकोण पर
- वर्ग: आयत + समचतुर्भुज – सभी भुजाएँ बराबर, सभी कोण समकोण
- समलम्ब: सम्मुख भुजाओं का एक युग्म समान्तर
- पतंग: आसन्न भुजाओं के दो युग्म बराबर
✅ मुख्य बिंदु
चतुर्भुज ज्यामिति का महत्वपूर्ण अंग है। विभिन्न प्रकार के चतुर्भुजों के गुण – सम्मुख भुजाएँ, कोण, विकर्ण – को समझना आवश्यक है। ये गुण व्यावहारिक ज्यामिति तथा क्षेत्रफल-परिमाप ज्ञात करने में सहायक होते हैं।
🧠 माइंडमैप – चतुर्भुज (Quadrilaterals)
🧩 मिलान अभ्यास – अध्याय 10: चतुर्भुज
✅ प्रत्येक row में 6 विकल्प दिखेंगे – सही चुनें और तुरंत परिणाम देखें।
🧠 Practice Quiz – अध्याय 10: चतुर्भुज
✅ एक बार उत्तर चुनने के बाद बदला नहीं जा सकता।