🧩 व्यंजकों का गुणनखण्ड (Factorization)
जानें कि बीजीय व्यंजकों के गुणनखण्ड (Factors) क्या होते हैं, सामान्य गुणनखण्ड निकालना, समूहन (Grouping) द्वारा गुणनखण्ड, तथा आयताकार क्षेत्रफल से भुजाएँ ज्ञात करना।
📋 Chapter Overview – एक नज़र में
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📖 अध्याय सामग्री (Chapter Content)
गुणनखण्ड (Factor) – किसी संख्या या बीजीय व्यंजक को दो या दो से अधिक अखण्डनीय (irreducible) व्यंजकों के गुणन के रूप में लिखना।
- संख्या 30 के गुणनखण्ड: 1,2,3,5,6,10,15,30 ; अभाज्य गुणनखण्ड: 2×3×5
- बीजीय व्यंजक 5xy के गुणनखण्ड: 5, x, y – अखण्डनीय रूप 5 × x × y
- बीजीय व्यंजक 4x²y² = 4 × x × x × y × y
📖 गुणनखण्ड: किसी व्यंजक को दो या अधिक अखण्डनीय व्यंजकों के गुणन के रूप में लिखना।
सर्वनिष्ठ (Common) गुणनखण्ड निकालना: यदि व्यंजक के सभी पदों में कोई गुणनखण्ड उभयनिष्ठ हो, तो उसे बाहर निकालते हैं।
उदाहरण 1: 10xy + 5y = 5y(2x + 1)
उदाहरण 2: 12a²b + 15ab² = 3ab(4a + 5b)
उदाहरण 3: 10x² – 18x³ + 14x⁴ = 2x²(5 – 9x + 7x²)
🔍 सामान्य गुणनखण्ड: प्रत्येक पद के अखण्डनीय गुणनखण्डों में से उभयनिष्ठ खण्ड को बाहर निकालें।
समूहन विधि: चार पदीय व्यंजकों को दो समूहों में बाँटकर प्रत्येक समूह से उभयनिष्ठ खण्ड निकालते हैं, फिर नए उभयनिष्ठ खण्ड को बाहर निकालते हैं।
उदाहरण 1: x² + ax + bx + ab
= x(x + a) + b(x + a) = (x + a)(x + b)
उदाहरण 2: 7a² – xa² + xb² – 7b²
= 7(a² – b²) – x(a² – b²) = (a² – b²)(7 – x) = (a + b)(a – b)(7 – x)
📦 समूहन: पदों को इस प्रकार समूहित करें कि प्रत्येक समूह में एक उभयनिष्ठ खण्ड हो, फिर उसे बाहर निकालें।
यदि आयत का क्षेत्रफल बीजीय व्यंजक के रूप में दिया हो, तो उसका गुणनखण्ड करके लम्बाई और चौड़ाई ज्ञात की जा सकती है।
उदाहरण: आयत का क्षेत्रफल = 6ab – b² – 2bc + 12ac
= b(6a – b) + 2c(6a – b) = (6a – b)(b + 2c)
∴ भुजाएँ = (6a – b) और (b + 2c)
📐 अनुप्रयोग: गुणनखण्ड द्वारा आयत की भुजाएँ ज्ञात करना – क्षेत्रफल = लम्बाई × चौड़ाई।
- गुणनखण्ड: किसी व्यंजक को दो या अधिक अखण्डनीय व्यंजकों के गुणन के रूप में लिखना।
- सामान्य गुणनखण्ड: ax + ay = a(x + y)
- समूहन द्वारा गुणनखण्ड: ax² + ay² + bx² + by² = (x² + y²)(a + b)
- सर्वसमिका का उपयोग: a² – b² = (a + b)(a – b)
- अनुप्रयोग: क्षेत्रफल के व्यंजक से आयत की भुजाएँ ज्ञात करना।
✅ मुख्य बिंदु
गुणनखण्ड बीजगणित का महत्वपूर्ण अंग है – यह समीकरणों को सरल बनाने, सर्वसमिकाओं को सत्यापित करने तथा ज्यामितीय आकृतियों की भुजाएँ ज्ञात करने में सहायक है।
🧠 माइंडमैप – व्यंजकों का गुणनखण्ड
🧩 मिलान अभ्यास – अध्याय 9: व्यंजकों का गुणनखण्ड
✅ प्रत्येक row में 6 विकल्प दिखेंगे – सही चुनें और तुरंत परिणाम देखें।
🧠 Practice Quiz – अध्याय 9: व्यंजकों का गुणनखण्ड
✅ एक बार उत्तर चुनने के बाद बदला नहीं जा सकता।