अध्याय 1: परिमेय संख्याएँ – Junior School Online
📐 गणित – कक्षा 7 – अध्याय 1

🔢 परिमेय संख्याएँ (Rational Numbers)

इस अध्याय में हम परिमेय संख्याओं की अवधारणा, उनके तुल्य रूप, मानक रूप, तुलना, क्रम और दो परिमेय संख्याओं के बीच की संख्याएँ ज्ञात करना सीखेंगे।

📖 अध्याय सामग्री (Chapter Content)

1 📖 परिमेय संख्याओं की अवधारणा

परिमेय संख्याएँ (Rational Numbers) – वे संख्याएँ जिन्हें p/q के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहाँ p और q पूर्णांक हैं तथा q ≠ 0

  • उदाहरण: 3/4, -5/7, 2, -3, 0 (0 = 0/1)
  • सभी प्राकृतिक संख्याएँ (1, 2, 3, ...) परिमेय हैं।
  • सभी पूर्ण संख्याएँ (0, 1, 2, 3, ...) परिमेय हैं।
  • सभी पूर्णांक (..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...) परिमेय हैं।
परिमेय संख्या = p/q, जहाँ p, q ∈ Z तथा q ≠ 0

📌 याद रखें

  • प्रत्येक भिन्न परिमेय संख्या होती है।
  • प्रत्येक परिमेय संख्या भिन्न नहीं होती (जैसे 2, -3, 0)।
  • जो संख्याएँ p/q के रूप में व्यक्त नहीं की जा सकतीं, अपरिमेय कहलाती हैं (जैसे √2, π)।
2 ➕➖ धनात्मक और ऋणात्मक परिमेय संख्याएँ
  • धनात्मक परिमेय संख्याएँ – जिनके अंश और हर दोनों धनात्मक हों या दोनों ऋणात्मक हों।
    उदाहरण: 3/5, 2/7, 8/9, (-5)/(-3) = 5/3
  • ऋणात्मक परिमेय संख्याएँ – जिनके अंश और हर में से एक ऋणात्मक हो।
    उदाहरण: -5/7, 3/-8, -9/5, 7/-3
  • 0 (शून्य) – न तो धनात्मक और न ही ऋणात्मक (0 = 0/1)।

📌 ध्यान दें

  • -5/7 और 5/-7 दोनों एक ही ऋणात्मक परिमेय संख्या हैं।
  • हर को धनात्मक बनाकर लिखना सुविधाजनक होता है।
3 🔄 तुल्य परिमेय संख्याएँ

तुल्य परिमेय संख्याएँ – वे परिमेय संख्याएँ जो समान मान रखती हैं।

यदि a/b एक परिमेय संख्या है और m एक शून्येतर पूर्णांक है, तो
a/b = (a×m)/(b×m)

📌 उदाहरण – 2/3 के तुल्य रूप

2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12 = 10/15 = ...

(अंश और हर में 2, 3, 4, 5 से गुणा करने पर)

📌 उदाहरण – -7/5 को अंश -14 वाली संख्या में बदलें

-7/5 = (-7×2)/(5×2) = -14/10

उत्तर: -14/10

📌 महत्वपूर्ण

  • 0 से गुणा करने पर 0 प्राप्त होता है, जो परिमेय संख्या नहीं (q=0)।
  • अतः m शून्येतर पूर्णांक होना चाहिए।
4 📐 मानक रूप (सरलतम रूप)

मानक रूप (Standard Form) – परिमेय संख्या का वह रूप जिसमें अंश और हर में 1 के अतिरिक्त कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड न हो और हर धनात्मक हो।

सरलतम रूप = (अंश ÷ म0स0) / (हर ÷ म0स0)

📌 उदाहरण – -9/21 का मानक रूप

अंश 9 और हर 21 का म0स0 = 3

-9/21 = (-9÷3)/(21÷3) = -3/7

उत्तर: -3/7

📌 उदाहरण – -18/-27 का मानक रूप

अंश 18 और हर 27 का म0स0 = 9

-18/-27 = 18/27 = (18÷9)/(27÷9) = 2/3

उत्तर: 2/3

📌 दो परिमेय संख्याओं की समानता की जाँच

दोनों को मानक रूप में बदलें – यदि समान हों तो संख्याएँ समान हैं।

5 ⚖️ परिमेय संख्याओं की तुलना

तुलना के नियम:

  • धनात्मक > ऋणात्मक – प्रत्येक धनात्मक संख्या, ऋणात्मक संख्या से बड़ी होती है।
  • दो धनात्मक संख्याओं में बड़ा अंश वाली संख्या बड़ी होती है (जब हर समान हो)।
  • दो ऋणात्मक संख्याओं में छोटा अंश वाली संख्या बड़ी होती है (जब हर समान हो)।
a/b और c/d के लिए (b, d धनात्मक):
a/b > c/d यदि ad > bc
a/b < c/d यदि ad < bc
a/b = c/d यदि ad = bc

📌 उदाहरण – -5/4 और 7/-9 में कौन बड़ा?

7/-9 = -7/9 (हर धनात्मक)

-5/4 = -45/36, -7/9 = -28/36

∵ -28 > -45 ∴ -7/9 > -5/4

उत्तर: 7/-9 > -5/4

6 📊 परिमेय संख्याओं का क्रम (Ordering)

आरोही क्रम (Ascending Order) – सबसे छोटी से सबसे बड़ी संख्या।

अवरोही क्रम (Descending Order) – सबसे बड़ी से सबसे छोटी संख्या।

📌 उदाहरण – 3/-5, -7/10, 8/-15, -17/-30 को आरोही क्रम में

3/-5 = -3/5 = -18/30

-7/10 = -21/30

8/-15 = -8/15 = -16/30

-17/-30 = 17/30

आरोही क्रम: -21/30 < -18/30 < -16/30 < 17/30

उत्तर: -7/10 < 3/-5 < 8/-15 < -17/-30

📌 प्रगुण

  • प्रत्येक धनात्मक परिमेय संख्या 0 से बड़ी होती है।
  • प्रत्येक ऋणात्मक परिमेय संख्या 0 से छोटी होती है।
  • किन्हीं दो परिमेय संख्याओं के बीच अनंत परिमेय संख्याएँ होती हैं।
7 📏 संख्या-रेखा पर परिमेय संख्याएँ
-3 -2 -1 0 1 2 3 1/2 -1/2 -3/2 3/2

📌 संख्या-रेखा पर परिमेय संख्याएँ

  • दो क्रमागत पूर्णांकों के बीच की दूरी को समान भागों में विभाजित करें।
  • प्रत्येक भाग एक परिमेय संख्या को निरूपित करता है।
  • 0 के दायीं ओर धनात्मक और बायीं ओर ऋणात्मक संख्याएँ।
8 🔢 दो परिमेय संख्याओं के बीच की संख्याएँ

गुण: किन्हीं दो परिमेय संख्याओं के बीच अनंत परिमेय संख्याएँ होती हैं।

औसत विधि: a और b के बीच एक परिमेय संख्या = (a + b) / 2

📌 उदाहरण – 0 और 1 के बीच 5 परिमेय संख्याएँ

0 = 0/6, 1 = 6/6

0/6, 1/6, 2/6, 3/6, 4/6, 5/6, 6/6

उत्तर: 1/6, 2/6, 3/6, 4/6, 5/6

📌 उदाहरण – -1 और 0 के बीच 3 परिमेय संख्याएँ

-1 = -4/4, 0 = 0/4

उत्तर: -3/4, -2/4, -1/4

📌 याद रखें

  • दो संख्याओं के बीच अनंत परिमेय संख्याएँ होती हैं।
  • हर को बड़ा करके अधिक संख्याएँ प्राप्त की जा सकती हैं।

🧩 मिलान अभ्यास – 25 Pairs

कॉलम A का कॉलम B से सही मिलान करें – हर पंक्ति में केवल 6 विकल्प दिखेंगे।
सही उत्तर चुनते ही ✅/❌ का निशान और गलत पर सही उत्तर दिख जाएगा।

🧠 Practice Quiz – परिमेय संख्याएँ

🎯 आपकी प्रगति
स्कोर: 0/0

✅ एक बार उत्तर चुनने के बाद बदला नहीं जा सकता।

📝 हमने सीखा – सारांश

परिमेय संख्या – p/q (q ≠ 0)
धनात्मक – अंश और हर समान चिह्न
ऋणात्मक – अंश और हर विपरीत चिह्न
तुल्य रूप – (a×m)/(b×m), m ≠ 0
मानक रूप – सरलतम रूप, हर धनात्मक
तुलना – हर समान करके अंश तुलना
आरोही – छोटी से बड़ी
अवरोही – बड़ी से छोटी
a/b > c/d – ad > bc (b, d धनात्मक)
धनात्मक > 0 > ऋणात्मक
अनंत – दो संख्याओं के बीच
0 – न धनात्मक, न ऋणात्मक
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