📚 कक्षा 6 · गणित · अध्याय 1

प्राकृतिक संख्याएँ

इस अध्याय में हम संख्या और संख्यांक, स्थानीय मान, प्राकृतिक संख्याएँ,
संख्या रेखा, पूर्ववर्ती एवं उत्तरवर्ती संख्याओं के बारे में विस्तार से जानेंगे।

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📋 Chapter Overview – एक नज़र में

🔢 संख्या/संख्यांक 📊 स्थानीय मान 📈 बड़ी/छोटी संख्या 🌿 प्राकृतिक संख्याएँ 📏 संख्या रेखा ⏮️ पूर्ववर्ती/उत्तरवर्ती ✏️ अभ्यास 1(a) ✏️ अभ्यास 1(b) 📝 सारांश 🧠 क्विज़ 🧩 मिलान

🔢 1 संख्या और संख्यांक – परिचय ▼

संख्या (Number): वस्तुओं को गिनने के लिए प्रयुक्त होने वाली मात्रा को संख्या कहते हैं।

संख्यांक (Numeral): संख्याओं को लिखने के लिए प्रयुक्त होने वाले संकेतों को संख्यांक कहते हैं।

अंक (Digits): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 — दस अंक होते हैं।
इन्हीं अंकों के विभिन्न क्रमों से सभी संख्याएँ बनती हैं।
उदाहरण: 5, 3, 8, 1 — इन चार अंकों से 8531, 1358, 5381, 8315 आदि संख्याएँ बन सकती हैं।

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

दस अंक (0 से 9 तक)

🔢 संख्या: मात्रा — संख्यांक: संकेत — 0 से 9 तक दस अंकों से सभी संख्याएँ बनती हैं।

📊 2 अंकों का प्रयोग तथा स्थानीय मान पद्धति ▼

स्थानीय मान (Place Value): किसी संख्या में प्रत्येक अंक का मान उसके स्थान के अनुसार होता है, इसे स्थानीय मान कहते हैं।

इकाई (Units): 1 का स्थान — 1, 10¹
दहाई (Tens): 10 का स्थान — 10, 10¹
सैकड़ा (Hundreds): 100 का स्थान — 100, 10²
हजार (Thousands): 1000 का स्थान — 1000, 10³

🔹 सबसे बड़ी एवं सबसे छोटी संख्या बनाने के नियम

सबसे बड़ी संख्या: अंकों को अवरोही क्रम (Descending) में लिखें (बड़े से छोटे की ओर)।
सबसे छोटी संख्या: अंकों को आरोही क्रम (Ascending) में लिखें (छोटे से बड़े की ओर)।
शून्य (0) की स्थिति: शून्य को बाएँ से दूसरे स्थान पर रखें (ताकि संख्या में अंकों की संख्या न घटे)।

🔹 सबसे बड़ी/छोटी संख्या — अंकों की पुनरावृत्ति (Repetition)

यदि अंक दिए गए हैं और हमें n अंकों की संख्या बनानी है तो सबसे बड़े अंक को बार-बार उपयोग करें।
सबसे छोटी संख्या के लिए सबसे छोटे अंक (शून्येतर) को बार-बार उपयोग करें।

💡 उदाहरण 1: 5, 3, 8, 1 से चार अंकों की सबसे बड़ी एवं सबसे छोटी संख्या

सबसे बड़ी संख्या: 8531 (अंक अवरोही क्रम में — 8, 5, 3, 1)
सबसे छोटी संख्या: 1358 (अंक आरोही क्रम में — 1, 3, 5, 8)

💡 उदाहरण 2: 2, 3, 8 से चार अंकों की सबसे बड़ी तथा सबसे छोटी संख्या

हल: अंक तीन हैं किन्तु संख्या चार अंकों की है।
सबसे बड़ी संख्या: 8832 (सबसे बड़ा अंक 8 — हजार और सैकड़े पर)
सबसे छोटी संख्या: 2238 (सबसे छोटा अंक 2 — हजार और सैकड़े पर)

💡 उदाहरण 3: 2, 0, 5, 0 से चार अंकों की सबसे बड़ी और सबसे छोटी संख्या का अन्तर

हल:
सबसे बड़ी संख्या = 5200
सबसे छोटी संख्या = 2005 (शून्य को बाएँ से दूसरे स्थान पर रखा)
अंतर = 5200 − 2005 = 3195

🔹 n अंकों की सबसे बड़ी/छोटी संख्या

अंकों की संख्या	सबसे छोटी संख्या	सबसे बड़ी संख्या
1 अंक	1	9
2 अंक	10	99
3 अंक	100	999
4 अंक	1000	9999
5 अंक	10000	99999

💡 उदाहरण 4: 3477 में दोनों 7 के स्थानीय मान

हल: 3477 = 3000 + 400 + 70 + 7
दाहिनी ओर से पहले 7 का स्थानीय मान = 7
दूसरे 7 का स्थानीय मान = 70

📊 स्थानीय मान: अंक का मान × स्थान का मान — जैसे 523 में 5 का स्थानीय मान = 5 × 100 = 500

📈 3 सबसे बड़ी एवं सबसे छोटी संख्या ▼

सबसे बड़ी संख्या: सभी अंकों को अवरोही क्रम (बड़े से छोटे) में लिखने पर प्राप्त होती है।

सबसे छोटी संख्या: सभी अंकों को आरोही क्रम (छोटे से बड़े) में लिखने पर प्राप्त होती है।

शून्य (0) वाली स्थिति: 0 को बाईं ओर नहीं रख सकते (यदि संख्या में अंकों की संख्या न घटनी हो)।
उदाहरण: 0, 3, 5 से तीन अंकों की संख्याएँ — 305, 350, 503, 530 (035 और 053 नहीं क्योंकि 35 और 53 दो अंकों की हो जाएँगी)।

अवरोही क्रम

9 > 7 > 5 > 3 > 1

→ 97531

(सबसे बड़ी संख्या)

आरोही क्रम

1 < 3 < 5 < 7 < 9

→ 13579

(सबसे छोटी संख्या)

अवरोही → सबसे बड़ी • आरोही → सबसे छोटी

📈 सबसे बड़ी: अवरोही क्रम — सबसे छोटी: आरोही क्रम — शून्य को बाएँ से दूसरे स्थान पर रखें।

🌿 4 प्राकृतिक संख्याएँ (Natural Numbers) ▼

प्राकृतिक संख्याएँ (Natural Numbers): वस्तुओं को गिनने के लिए प्रयोग की जाने वाली संख्याएँ — 1, 2, 3, 4, 5, ...

सबसे छोटी प्राकृतिक संख्या: 1
सबसे बड़ी प्राकृतिक संख्या: कोई नहीं — क्योंकि किसी भी संख्या की एक अनुवर्ती (अगली) संख्या होती है।
प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय अनंत (Infinite) है — 1, 2, 3, 4, ...
0 (शून्य) प्राकृतिक संख्या नहीं है — यह गिनती की संख्या नहीं है।

प्राकृतिक संख्याएँ (Natural Numbers)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ...

🚫 0 (शून्य) प्राकृतिक संख्या नहीं है

🌿 प्राकृतिक संख्याएँ: 1, 2, 3, 4, ... — सबसे छोटी 1, सबसे बड़ी कोई नहीं — 0 प्राकृतिक नहीं है।

📏 5 संख्या रेखा (Number Line) ▼

संख्या रेखा (Number Line): एक सरल रेखा जिस पर बराबर अन्तराल पर प्राकृतिक संख्याओं को दर्शाया जाता है।

रेखा पर बायीं ओर की संख्याएँ छोटी होती हैं।
रेखा पर दायीं ओर की संख्याएँ बड़ी होती हैं।
निष्कर्ष: प्रत्येक प्राकृतिक संख्या अपनी बायीं ओर की सभी संख्याओं से बड़ी और दायीं ओर की सभी संख्याओं से छोटी होती है।

संख्या रेखा — 0 से 9 तक प्राकृतिक संख्याएँ

तुलना	संख्या रेखा पर स्थिति
3 > 2	2 की दायीं ओर 3 है
5 > 3	3 की दायीं ओर 5 है
8 < 9	8 की बायीं ओर 9 है
1 < 2	1 की बायीं ओर 2 है
3 < 4	3 की बायीं ओर 4 है

📏 संख्या रेखा: दायीं ओर की संख्या बड़ी, बायीं ओर की संख्या छोटी — संख्याओं की तुलना हेतु सहायक।

⏮️ 6 पूर्ववर्ती एवं उत्तरवर्ती (Predecessor & Successor) ▼

🔹 पूर्ववर्ती संख्या (Predecessor)

किसी संख्या से 1 कम संख्या उसकी पूर्ववर्ती संख्या कहलाती है।
सूत्र: पूर्ववर्ती = संख्या − 1
उदाहरण: 5 की पूर्ववर्ती = 5 − 1 = 4
महत्वपूर्ण: 1 की कोई पूर्ववर्ती प्राकृतिक संख्या नहीं होती (क्योंकि 0 प्राकृतिक संख्या नहीं है)।

🔹 उत्तरवर्ती संख्या (Successor) — अनुवर्ती

किसी संख्या से 1 अधिक संख्या उसकी उत्तरवर्ती (अनुवर्ती) संख्या कहलाती है।
सूत्र: उत्तरवर्ती = संख्या + 1
उदाहरण: 5 की उत्तरवर्ती = 5 + 1 = 6
महत्वपूर्ण: 1 किसी भी प्राकृतिक संख्या की उत्तरवर्ती नहीं है (क्योंकि इससे पहले 0 होता है, जो प्राकृतिक नहीं है)।

💡 उदाहरण 5: तीन अंकों की सबसे छोटी प्राकृतिक संख्या की पूर्ववर्ती

तीन अंकों की सबसे छोटी प्राकृतिक संख्या = 100
100 की पूर्ववर्ती संख्या = 100 − 1 = 99

💡 उदाहरण 6: चार अंकों की सबसे बड़ी प्राकृतिक संख्या की अनुवर्ती

चार अंकों की सबसे बड़ी प्राकृतिक संख्या = 9999
9999 की अनुवर्ती संख्या = 9999 + 1 = 10000

💡 उदाहरण 7

3775 की अनुवर्ती = 3775 + 1 = 3776

💡 उदाहरण 8

3776 की पूर्ववर्ती = 3776 − 1 = 3775

🔹 क्रमागत संख्याएँ (Consecutive Numbers)

क्रम से एक के बाद एक आने वाली प्राकृतिक संख्याएँ क्रमागत संख्याएँ कहलाती हैं।
उदाहरण: 4, 5, 6; 108, 109, 110; 1, 2, 3, 4, ...

प्राकृतिक संख्या	पूर्ववर्ती	उत्तरवर्ती
5	4	6
13	12	14
38	37	39
20	19	21
22	21	23
1	—	2

⏮️ पूर्ववर्ती: संख्या − 1 — उत्तरवर्ती: संख्या + 1 — 1 की कोई पूर्ववर्ती नहीं।

✏️ 7 अभ्यास 1(a) – प्रश्न एवं हल ▼

🔹 प्रश्न 1 – संख्याओं को संख्यांकों में व्यक्त करें

(i) चार सौ सताईस — 427

(ii) तीन हजार पाँच सौ एक — 3501

(iii) एक सौ पन्द्रह — 115

(iv) उन्यासी हजार उन्तीस — 79029

🔹 प्रश्न 2 – संख्याओं को शब्दों में लिखें

(i) 7019 — सात हजार उन्नीस

(ii) 23013 — तेईस हजार तेरह

(iii) 69379 — उनहत्तर हजार ती सौ उन्यासी

(iv) 893059 — आठ लाख, तिरानबे हजार उनसठ

🔹 प्रश्न 2(ब) – वाक्यों में संख्याओं को शब्दों में

100 — एक सौ
1000 — एक हजार
10,00,000 — दस लाख
1,00,00,000 — एक करोड़

🔹 प्रश्न 3 – संख्याओं में अंक छाँटें: 10, 11, 18, 0, 3

10 — अंक: 1, 0
11 — अंक: 1, 1
18 — अंक: 1, 8
0 — अंक: 0
3 — अंक: 3

🔹 प्रश्न 4 – 1, 2, 3 से बनने वाली तीन अंकों की सभी संख्याएँ (बिना पुनरावृत्ति)

123, 132, 213, 231, 312, 321

(कुल 6 संख्याएँ)

🔹 प्रश्न 5 – 0, 3, 5 से बनने वाली तीन अंकों की सभी संख्याएँ (बिना पुनरावृत्ति)

305, 350, 503, 530

(035 और 053 नहीं — क्योंकि 35 और 53 दो अंकों की हो जाएँगी)

🔹 प्रश्न 6 – 6, 7, 0, 5 से चार अंकों की सबसे बड़ी एवं सबसे छोटी संख्या

सबसे बड़ी संख्या: 7650 (अवरोही: 7, 6, 5, 0)

सबसे छोटी संख्या: 5067 (शून्य को बाएँ से दूसरे स्थान पर)

🔹 प्रश्न 7 – पाँच अंकों की सबसे बड़ी तथा सबसे छोटी संख्या

सबसे बड़ी: 99999

सबसे छोटी: 10000

🔹 प्रश्न 8 – 5231 में प्रत्येक अंक का स्थानीय मान

5 — स्थानीय मान = 5000 (5 × 1000)
2 — स्थानीय मान = 200 (2 × 100)
3 — स्थानीय मान = 30 (3 × 10)
1 — स्थानीय मान = 1 (1 × 1)

🔹 प्रश्न 9 – 636 में दोनों 6 के स्थानीय मान

636 = 600 + 30 + 6

पहला 6 (सैकड़े पर): 600

दूसरा 6 (इकाई पर): 6

✏️ 8 अभ्यास 1(b) – प्रश्न एवं हल ▼

🔹 प्रश्न 1 – रिक्त स्थान भरें

4, 5, 6, 7, 8, ___, 23, 24, 25, 27

सही विकल्प: (iii) 26

(श्रृंखला में 8 के बाद 9 आना चाहिए, परन्तु 23 से पहले 22, 21, 20... नहीं हैं, इसलिए 26 सही है — ध्यान दें कि 25 के बाद 26 आता है और फिर 27)

🔹 प्रश्न 2 – रिक्त स्थान भरें

9, 8, 7, 6, 5, ___, 35, 34, 32, 31

सही विकल्प: (ii) 33

(5 के बाद 35 नहीं आ सकता, 35 से पहले 34, 33, 32 आते हैं — श्रृंखला 9,8,7,6,5 से 35,34,33,32,31 तक जाती है)

🔹 प्रश्न 3 – बहुविकल्पीय (MCQs)

(क) 13 की अनुवर्ती प्राकृतिक संख्या — (iii) 14

(13 + 1 = 14)

(ख) 27 की पूर्ववर्ती प्राकृतिक संख्या — (ii) 26

(27 − 1 = 26)

(ग) 6 की अनुवर्ती प्राकृतिक संख्या — (iv) केवल 7

(एक संख्या की केवल एक ही अनुवर्ती संख्या होती है)

(घ) 15 की पूर्ववर्ती प्राकृतिक संख्या — (i) केवल 14

(एक संख्या की केवल एक ही पूर्ववर्ती संख्या होती है)

🔹 प्रश्न 4 – सत्य/असत्य

(i) 1 सबसे छोटी प्राकृतिक संख्या है — ✅ सत्य
(ii) संख्या-रेखा पर निरूपित किसी प्राकृतिक संख्या के दाहिनी ओर की प्राकृतिक संख्या उससे छोटी होती है — ❌ असत्य (दाहिनी ओर की संख्या बड़ी होती है)
(iii) 101 से बड़ी क्रमागत संख्याएँ 102, 103, 104 हैं — ✅ सत्य
(iv) 23 एक प्राकृतिक संख्या है — ✅ सत्य
(v) प्राकृतिक संख्याओं में कोई संख्या सबसे बड़ी नहीं होती है — ✅ सत्य

🔹 प्रश्न 5 – 9999 की अनुवर्ती प्राकृतिक संख्या

9999 + 1 = 10000

🔹 प्रश्न 6 – 100001 की पूर्ववर्ती प्राकृतिक संख्या

100001 − 1 = 100000

🔹 प्रश्न 7 – संख्या रेखा पर 9 तक की प्राकृतिक संख्याएँ

🔹 प्रश्न 8 – चार अंकों की सबसे छोटी प्राकृतिक संख्या एवं पूर्ववर्ती

चार अंकों की सबसे छोटी प्राकृतिक संख्या = 1000

1000 की पूर्ववर्ती = 1000 − 1 = 999

🔹 प्रश्न 9 – छह अंकों की सबसे बड़ी प्राकृतिक संख्या एवं अनुवर्ती

छह अंकों की सबसे बड़ी प्राकृतिक संख्या = 999999

999999 की अनुवर्ती = 999999 + 1 = 1000000

📜 9 श्रीधराचार्य (991 ई.) – गणित सार ▼

📜 श्रीधराचार्य (991 ई.)

जन्म: 991 ई. में कर्नाटक प्रान्त में
प्रसिद्ध ग्रंथ: 'गणित सार' — 300 श्लोकों वाली विशतिका

गणित सार में सम्मिलित विषय:
प्राकृतिक संख्याओं की मालाएँ, गुणन, भाग, शून्य, वर्ग, वर्गमूल, घनमूल, भिन्न, ब्याज, मिश्रण, साझा तथा मापिकी

📝 हमने सीखा (अध्याय सारांश)

🔢 संख्या: मात्रा — संख्यांक: संकेत — 0-9 अंकों से सभी संख्याएँ बनती हैं।

📊 स्थानीय मान: अंक × स्थान का मान — जैसे 523 में 5 का मान 500।

📈 सबसे बड़ी: अवरोही क्रम — सबसे छोटी: आरोही क्रम — शून्य को बाएँ से दूसरे स्थान पर।

🌿 प्राकृतिक संख्याएँ: 1, 2, 3, 4, ... — सबसे छोटी 1, सबसे बड़ी कोई नहीं — 0 प्राकृतिक नहीं।

📏 संख्या रेखा: दायीं ओर बड़ी, बायीं ओर छोटी — संख्याओं की तुलना हेतु।

📜 श्रीधराचार्य (991 ई.): 'गणित सार' — प्राकृतिक संख्याएँ, गुणन, भाग, शून्य, वर्गमूल आदि।

🧩 मिलान अभ्यास (25 पेयर)

📝 अभ्यास क्विज़

स्कोर: 0/0

✅ एक बार उत्तर चुनने के बाद बदला नहीं जा सकता।