✏️ ज्यामितीय रचनाएँ (Geometrical Constructions)
इस अध्याय में हम पटरी (Ruler) और परकार (Compass) की सहायता से रेखाखंडों के लम्ब समद्विभाजक, कोणों की रचना, कोण समद्विभाजक, समान्तर रेखाएँ तथा लम्ब रेखाएँ खींचना सीखेंगे।
📋 Chapter Overview – एक नज़र में
इस अध्याय के सभी महत्वपूर्ण विषय – किसी भी कार्ड पर क्लिक करें और सीधे उस भाग पर पहुँचें।
📖 अध्याय सामग्री (Chapter Content)
ज्यामितीय रचनाएँ (Geometrical Constructions) – पटरी (Ruler) और परकार (Compass) की सहायता से विभिन्न ज्यामितीय आकृतियाँ बनाना।
- पटरी (Ruler) – सीधी रेखाएँ खींचने के लिए
- परकार (Compass) – वृत्त, चाप और दूरियाँ नापने के लिए
- चाँदा (Protractor) – कोण मापने और बनाने के लिए (जहाँ आवश्यक)
📌 इस अध्याय में हम सीखेंगे
- रेखाखंड का लम्ब समद्विभाजक खींचना
- दिए गए कोण के बराबर कोण की रचना
- दिए गए कोण का समद्विभाजक खींचना
- दी गई रेखा के समान्तर रेखा खींचना
- किसी बिन्दु से रेखा पर लम्ब खींचना
लम्ब समद्विभाजक (Perpendicular Bisector) – वह रेखा जो किसी रेखाखंड को समान भागों में विभाजित करती है और उस पर लम्ब होती है।
- रेखाखंड AB खींचें।
- A को केन्द्र मानकर AB के आधे से अधिक त्रिज्या का चाप खींचें।
- B को केन्द्र मानकर उसी त्रिज्या का दूसरा चाप खींचें जो पहले चाप को E और F पर काटे।
- EF को मिलाएँ – यह AB का लम्ब समद्विभाजक है।
📌 महत्वपूर्ण
- लम्ब समद्विभाजक रेखाखंड को समान भागों में बाँटता है।
- लम्ब समद्विभाजक रेखाखंड पर 90° का कोण बनाता है।
- किसी जीवा का लम्ब समद्विभाजक वृत्त के केन्द्र से होकर जाता है।
उद्देश्य: दिए गए ∠BAC के बराबर ∠QPN की रचना करना।
- एक किरण PQ खींचें।
- A को केन्द्र मानकर एक चाप खींचें जो AB और AC को E और F पर काटे।
- P को केन्द्र मानकर उसी त्रिज्या का चाप RS खींचें।
- R को केन्द्र मानकर EF = दूरी का चाप खींचें जो RS को M पर काटे।
- PM को मिलाकर N तक बढ़ाएँ – ∠QPN = ∠BAC
📌 सत्यापन
चाँदे से ∠BAC और ∠QPN को मापने पर दोनों बराबर पाए जाते हैं।
कोण समद्विभाजक (Angle Bisector) – वह किरण जो किसी कोण को दो बराबर भागों में विभाजित करती है।
- B को केन्द्र मानकर एक चाप खींचें जो BA और BC को P और Q पर काटे।
- P और Q को केन्द्र मानकर PQ के आधे से अधिक त्रिज्या के चाप खींचें जो S पर काटें।
- B और S को मिलाकर L तक बढ़ाएँ – BL कोण ABC का समद्विभाजक है।
📌 महत्वपूर्ण
- समद्विभाजक कोण को दो बराबर भागों में बाँटता है।
- ∠ABL = ∠CBL
- चापों की त्रिज्या PQ के आधे से अधिक होनी चाहिए, अन्यथा चाप नहीं कटेंगे।
समान्तर रेखाएँ (Parallel Lines) – वे रेखाएँ जो एक-दूसरे को कभी नहीं काटतीं और उनके बीच की दूरी सदैव समान रहती है।
- रेखा l पर बिन्दु B लें और A से B को मिलाएँ।
- B को केन्द्र मानकर चाप खींचें जो l को C और BA को D पर काटे।
- A को केन्द्र मानकर उसी त्रिज्या का चाप EF खींचें।
- DC = दूरी नापकर G से चाप लगाएँ जो H पर काटे।
- AH को मिलाएँ – m ∥ l
📌 सिद्धांत
∠ABC = ∠BAH (एकान्तर कोण)
यदि एकान्तर कोण बराबर हों, तो रेखाएँ समान्तर होती हैं।
स्थिति: बिन्दु P, रेखाखंड AB पर स्थित है।
- P को केन्द्र मानकर चाप खींचें जो AB को L और M पर काटे।
- L को केन्द्र मानकर LP से बड़ी त्रिज्या का चाप खींचें।
- M को केन्द्र मानकर उसी त्रिज्या का चाप खींचें – दोनों चाप N पर काटें।
- PN को मिलाएँ – PN ⟂ AB
📌 सत्यापन
∠APN = ∠BPN = 90°
स्थिति: बिन्दु P, रेखाखंड AB के बाहर स्थित है।
- P को केन्द्र मानकर चाप खींचें जो AB को L और M पर काटे।
- L को केन्द्र मानकर LM के आधे से अधिक त्रिज्या का चाप खींचें।
- M को केन्द्र मानकर उसी त्रिज्या का चाप खींचें – दोनों चाप K पर काटें।
- PK को मिलाएँ जो AB को N पर काटे – PN ⟂ AB
📌 सत्यापन
∠PNA = ∠PNB = 90°
बाह्य बिन्दु से रेखा पर लम्ब सदैव अद्वितीय होता है।
अभ्यास 4(a) – रेखाखंडों का विभाजन
- 6 सेमी रेखाखंड को दो बराबर भागों में विभाजित करना
- 3 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त में जीवाओं के लम्ब समद्विभाजक खींचना
- 8 सेमी रेखाखंड को चार बराबर भागों में बाँटना
- 4 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त में जीवा खींचकर केन्द्र से दूरी मापना
- 6.4 सेमी रेखाखंड का समिति अक्ष खींचना
अभ्यास 4(b) – कोणों की रचना
- 45° कोण बनाकर समद्विभाजित करना
- कोण PQR खींचकर किरण QS इस प्रकार खींचना कि ∠PQS = ∠RQS
- 120° कोण को चार बराबर भागों में विभक्त करना
- 30°, 45°, 22½°, 75°, 135° कोणों की रचना
अभ्यास 4(c) – समान्तर रेखाएँ
- दो समान्तर रेखाओं AB और CD पर 30° और 60° के कोण बनाकर ∠AMC मापना
- 5 सेमी भुजा वाले वर्ग की रचना
- AB = 4 सेमी पर ∠BAC = 60° बनाकर B से AC के समान्तर रेखा खींचना
- त्रिभुज ABC की रचना और AB के मध्य बिन्दु से BC के समान्तर रेखा खींचना
अभ्यास 4(d) – लम्ब रेखाएँ
- रेखाखंड AB पर बिन्दु M से लम्ब खींचना
- रेखा PQ के बाहर बिन्दु R से लम्ब खींचना
- 5 सेमी रेखाखंड MN पर बिन्दु P से लम्ब खींचना
दक्षता अभ्यास - 4
- शीर्षाभिमुख कोणों के समद्विभाजक एक ही रेखा में होते हैं
- 7½° और 22½° के कोणों की रचना
- AB = 3 सेमी पर AC = 3 सेमी लम्ब खींचकर ∠ABC = ∠ACB = 45° सत्यापित करना
- 5 सेमी AB पर 60° और 120° के कोणों की रचना
- वृत्त की जीवाओं के लम्बार्धकों का प्रतिच्छेद बिन्दु केन्द्र होता है
- त्रिभुज के अन्तः कोणों के समद्विभाजक एक बिन्दु पर मिलते हैं
- त्रिभुज की भुजाओं के लम्ब समद्विभाजक एक बिन्दु पर मिलते हैं
- 210° के कोण की रचना
🧩 मिलान अभ्यास – 25 Pairs
कॉलम A का कॉलम B से सही मिलान करें – हर पंक्ति में केवल 6 विकल्प दिखेंगे।
सही उत्तर चुनते ही ✅/❌ का निशान और गलत पर सही उत्तर दिख जाएगा।
🧠 Practice Quiz – ज्यामितीय रचनाएँ
✅ एक बार उत्तर चुनने के बाद बदला नहीं जा सकता।