🎯 Learning Objectives
इस अध्याय को पूरा करने के बाद विद्यार्थी—
परिमेय संख्याओं को समझ सकेंगे और पहचान सकेंगे।
संख्या रेखा पर परिमेय संख्याओं को प्रदर्शित कर सकेंगे।
परिमेय संख्याओं का योग, घटाना, गुणा और भाग कर सकेंगे।
परिमेय संख्याओं के सभी गुण (संवरक, क्रम-विनिमेय, साहचर्य, वितरण) समझ सकेंगे।
परिमेय संख्याओं की तुलना कर सकेंगे और निरपेक्ष मान ज्ञात कर सकेंगे।
परिमेय संख्याओं को दशमलव में बदल सकेंगे और दशमलव को परिमेय में।
🧭 Chapter Roadmap
इस अध्याय में हम निम्न Topics Step by Step पढ़ेंगे। (किसी भी टॉपिक पर क्लिक करें)
📖 Introduction (भूमिका)
हमने अब तक प्राकृतिक संख्याएँ (1, 2, 3, ...), पूर्ण संख्याएँ (0, 1, 2, 3, ...) और पूर्णांक (..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...) सीखे हैं। लेकिन क्या होगा जब हमें 5 को 2 से भाग देना हो? क्या होगा जब हमें 1 और 2 के बीच की संख्याओं को दर्शाना हो?
🤔 विचार करें
समुद्र तल से 600 मीटर की ऊँचाई को 3/5 किमी द्वारा व्यक्त कर सकते हैं। क्या समुद्र तल से 600 मीटर की गहराई को 3/5 किमी गहराई में व्यक्त कर सकते हैं?
इन सभी स्थितियों के लिए हमें परिमेय संख्याओं (Rational Numbers) की आवश्यकता पड़ती है। परिमेय संख्याएँ वे संख्याएँ हैं जिन्हें p/q के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ p और q पूर्णांक हैं और q ≠ 0।
📌 परिमेय संख्याएँ क्या हैं?
p/q, जहाँ p, q ∈ पूर्णांक, q ≠ 0
उदाहरण: 3/5, -4/7, 2/1, 0/3, 11/2, -13/6
🔢 Concept of Rational Numbers (परिमेय संख्याओं की अवधारणा)
धनात्मक परिमेय
3/5, 7/8, 2/9
अंश और हर दोनों धनात्मक
ऋणात्मक परिमेय
-4/7, 5/-8, -9/10
अंश या हर ऋणात्मक
पूर्णांक भी परिमेय
5 = 5/1, -3 = -3/1
सभी पूर्णांक परिमेय हैं
📌 महत्वपूर्ण तथ्य
- ✔ सभी पूर्णांक परिमेय संख्याएँ हैं (क्योंकि a = a/1)
- ✔ सभी भिन्न परिमेय संख्याएँ हैं
- ✔ सभी परिमेय संख्याएँ भिन्न नहीं होतीं (पूर्णांक भी परिमेय हैं)
- ✔ 0 एक परिमेय संख्या है (0 = 0/1)
📊 Equivalent & Standard Form (समतुल्य एवं मानक रूप)
(i) समतुल्य परिमेय संख्याएँ
वे परिमेय संख्याएँ जो समान मान दर्शाती हैं, समतुल्य कहलाती हैं।
📌 उदाहरण:
- 1/2 = 2/4 = 3/6 = 4/8 = 5/10
- -3/4 = -6/8 = -9/12 = -12/16
अंश और हर को एक ही शून्येतर संख्या से गुणा/भाग करने पर समतुल्य संख्याएँ प्राप्त होती हैं।
(ii) सरलतम/मानक रूप
एक परिमेय संख्या सरलतम रूप में होती है जब उसके अंश और हर का म.स. (HCF) 1 हो।
📌 उदाहरण:
- 4/8 → 4÷4/8÷4 = 1/2 (सरलतम रूप)
- -12/18 → -12÷6/18÷6 = -2/3 (सरलतम रूप)
📌 नियम: परिमेय संख्या का मानक रूप वह रूप है जिसमें हर धनात्मक है और अंश-हर का महत्तम समापवर्तक 1 है।
📈 Number Line (संख्या रेखा)
परिमेय संख्याओं को संख्या रेखा पर प्रदर्शित किया जा सकता है। दो क्रमागत पूर्णांकों के बीच अनन्त परिमेय संख्याएँ होती हैं।
📌 0 और 1 के बीच कितनी परिमेय संख्याएँ हैं?
उत्तर: अनन्त – 1/2, 1/3, 2/3, 1/4, 3/4, ...
दो परिमेय संख्याओं के बीच अनन्त परिमेय संख्याएँ होती हैं।
📏 Inserting Rationals with Equal Spacing (समान दूरी पर परिमेय संख्याएँ)
📌 विधि (Method)
दो परिमेय संख्याओं के बीच n परिमेय संख्याएँ समान दूरी पर डालने के लिए:
- चरण 1: दोनों संख्याओं को समान हर वाली संख्याओं में बदलें।
- चरण 2: अंतराल (interval) को (n + 1) बराबर भागों में विभाजित करें।
- चरण 3: प्रत्येक भाग का अंतर = (b - a)/(n + 1) ज्ञात करें।
- चरण 4: a में यह अंतर बार-बार जोड़कर n संख्याएँ प्राप्त करें।
इस विधि से प्राप्त सभी संख्याएँ परिमेय होती हैं और समान दूरी पर होती हैं।
📝 5 उदाहरण (Examples)
उदाहरण 1: 1/2 और 3/2 के बीच 2 परिमेय संख्याएँ समान दूरी पर डालें।
हल: a = 1/2, b = 3/2, n = 2
अंतर = (3/2 - 1/2)/(2+1) = (2/2)/3 = 1/3
पहली संख्या = 1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/6
दूसरी संख्या = 5/6 + 1/3 = 5/6 + 2/6 = 7/6
उत्तर: 5/6, 7/6
जाँच: 1/2 = 3/6 < 5/6 < 7/6 < 9/6 = 3/2
उदाहरण 2: -1 और 2 के बीच 3 परिमेय संख्याएँ समान दूरी पर डालें।
हल: a = -1, b = 2, n = 3
अंतर = (2 - (-1))/(3+1) = 3/4
पहली संख्या = -1 + 3/4 = -1/4
दूसरी संख्या = -1/4 + 3/4 = 1/2
तीसरी संख्या = 1/2 + 3/4 = 5/4
उत्तर: -1/4, 1/2, 5/4
उदाहरण 3: 1/3 और 1 के बीच 4 परिमेय संख्याएँ समान दूरी पर डालें।
हल: a = 1/3, b = 1 = 3/3, n = 4
अंतर = (1 - 1/3)/(4+1) = (2/3)/5 = 2/15
पहली = 1/3 + 2/15 = 5/15 + 2/15 = 7/15
दूसरी = 7/15 + 2/15 = 9/15 = 3/5
तीसरी = 9/15 + 2/15 = 11/15
चौथी = 11/15 + 2/15 = 13/15
उत्तर: 7/15, 3/5, 11/15, 13/15
उदाहरण 4: -2/3 और 4/3 के बीच 3 परिमेय संख्याएँ समान दूरी पर डालें।
हल: a = -2/3, b = 4/3, n = 3
अंतर = (4/3 - (-2/3))/(3+1) = (6/3)/4 = 2/4 = 1/2
पहली = -2/3 + 1/2 = -4/6 + 3/6 = -1/6
दूसरी = -1/6 + 1/2 = -1/6 + 3/6 = 2/6 = 1/3
तीसरी = 1/3 + 1/2 = 2/6 + 3/6 = 5/6
उत्तर: -1/6, 1/3, 5/6
उदाहरण 5: -3/4 और 3/4 के बीच 5 परिमेय संख्याएँ समान दूरी पर डालें।
हल: a = -3/4, b = 3/4, n = 5
अंतर = (3/4 - (-3/4))/(5+1) = (6/4)/6 = (3/2)/6 = 3/12 = 1/4
पहली = -3/4 + 1/4 = -2/4 = -1/2
दूसरी = -1/2 + 1/4 = -1/4
तीसरी = -1/4 + 1/4 = 0
चौथी = 0 + 1/4 = 1/4
पाँचवीं = 1/4 + 1/4 = 1/2
उत्तर: -1/2, -1/4, 0, 1/4, 1/2
📌 महत्वपूर्ण निष्कर्ष
- ✔ इस विधि से किसी भी संख्या की परिमेय संख्याएँ समान दूरी पर डाली जा सकती हैं।
- ✔ प्राप्त सभी संख्याएँ परिमेय होती हैं।
- ✔ संख्याएँ समान अंतराल पर होती हैं – संख्या रेखा पर बिल्कुल सटीक।
📊 Comparison of Rational Numbers (परिमेय संख्याओं का क्रम)
📌 तुलना के नियम
- ✔ प्रत्येक धनात्मक परिमेय संख्या शून्य से बड़ी होती है।
- ✔ प्रत्येक ऋणात्मक परिमेय संख्या शून्य से छोटी होती है।
- ✔ धनात्मक > ऋणात्मक (कोई भी धनात्मक, किसी भी ऋणात्मक से बड़ी होती है।)
- ✔ समान हर वाली संख्याओं में अंश बड़ा → संख्या बड़ी
- ✔ भिन्न हर वाली संख्याओं को हर समान करके तुलना करें।
📌 उदाहरण: -6/4 और 7/-9 में कौन बड़ी है?
हल: 7/-9 = -7/9 (हर धनात्मक)
-6/4 = -54/36 और -7/9 = -28/36
क्योंकि -28 > -54, इसलिए -7/9 > -6/4
∴ 7/-9 > -6/4
➕ Addition & Subtraction (योग और घटाना)
(i) समान हर वाली परिमेय संख्याएँ
- 3/5 + (-13/5) = (3-13)/5 = -10/5 = -2
- -4/7 + (-12/7) = (-4-12)/7 = -16/7
(ii) भिन्न हर वाली परिमेय संख्याएँ
1/4 + (-5/6) = 3/12 + (-10/12) = -7/12
-5/12 + 7/18 = -15/36 + 14/36 = -1/36
(iii) घटाना
📌 नियम: a/b - c/d = a/b + (-c/d)
अर्थात घटाना = योज्य प्रतिलोम जोड़ना
- -5/4 - 5/-6 = -5/4 + 5/6 = -15/12 + 10/12 = -5/12
- 7/10 - (-5/8) = 7/10 + 5/8 = 28/40 + 25/40 = 53/40
✖️ Multiplication & Division (गुणा और भाग)
गुणा (Multiplication)
(a/b) × (c/d) = (a×c)/(b×d)
अंश × अंश, हर × हर
उदा: (-3/5) × (4/7) = -12/35
भाग (Division)
(a/b) ÷ (c/d) = (a/b) × (d/c)
भाजक का व्युत्क्रम लेकर गुणा
उदा: (-3/5) ÷ (4/7) = (-3/5) × (7/4) = -21/20
📌 गुणा के चिह्न नियम
📊 Properties of Rational Numbers (परिमेय संख्याओं के गुण)
📌 संवरक (Closure)
दो परिमेय संख्याओं का योग, अंतर, गुणनफल सदैव परिमेय होता है।
भाग (शून्येतर भाजक) भी परिमेय है।
📌 क्रम-विनिमेय (Commutative)
a+b = b+a, a×b = b×a
घटाना और भाग क्रम-विनिमेय नहीं हैं।
📌 साहचर्य (Associative)
(a+b)+c = a+(b+c), (a×b)×c = a×(b×c)
घटाना और भाग साहचर्य नहीं हैं।
📌 तत्समक (Identity)
योग तत्समक = 0, गुणन तत्समक = 1
a + 0 = a, a × 1 = a
📌 वितरण (Distributive)
a × (b + c) = a×b + a×c
a × (b − c) = a×b − a×c
📌 प्रतिलोम (Inverse)
योज्य प्रतिलोम: a + (-a) = 0
गुणात्मक प्रतिलोम: a × (1/a) = 1 (a ≠ 0)
📌 महत्वपूर्ण
- ✔ शून्य (0) योग का तत्समक अवयव है।
- ✔ एक (1) गुणन का तत्समक अवयव है।
- ✔ a/b का योज्य प्रतिलोम = -a/b
- ✔ a/b का गुणात्मक प्रतिलोम (शून्येतर) = b/a
🎯 Absolute Value (निरपेक्ष मान)
किसी परिमेय संख्या का निरपेक्ष मान शून्य से उसकी दूरी होती है। इसे |x| से दर्शाते हैं।
📌 उदाहरण:
- |3/5| = 3/5
- |-4/7| = 4/7
- |-2| = 2, |2| = 2
- |0| = 0
📌 निष्कर्ष: निरपेक्ष मान सदैव धनात्मक या शून्य होता है।
|x| = x यदि x ≥ 0, और |x| = -x यदि x < 0
📟 Decimal Representation (दशमलव निरूपण)
सान्त दशमलव (Terminating)
जब दशमलव प्रसार समाप्त हो जाता है।
उदा: 1/4 = 0.25, 3/8 = 0.375
हर के अभाज्य गुणनखंड केवल 2 या 5
असान्त आवर्ती (Non-terminating Repeating)
जब दशमलव प्रसार कभी समाप्त नहीं होता और अंकों का एक समूह बार-बार आता है।
उदा: 1/3 = 0.333..., 2/11 = 0.1818...
हर के अभाज्य गुणनखंड में 2 और 5 के अतिरिक्त अन्य अभाज्य संख्याएँ
📌 सान्त/असान्त की पहचान
यदि परिमेय संख्या p/q के हर (q) के अभाज्य गुणनखंड केवल 2 या 5 हैं → सान्त
यदि q में 2 या 5 के अतिरिक्त कोई अन्य अभाज्य गुणनखंड है → असान्त आवर्ती
📌 दशमलव → परिमेय
- 0.15 = 15/100 = 3/20
- 2.125 = 2125/1000 = 17/8
- 0.3 (आवर्ती) = 3/9 = 1/3
सान्त दशमलव → दशमलव स्थानों के अनुसार 10, 100, 1000 से गुणा
🧠 Practice Quiz – परिमेय संख्याएँ
अपने ज्ञान को परखें! नीचे 3 क्विज़ सेट हैं – प्रत्येक में 25 प्रश्न (कुल 75 प्रश्न)। PDF के सभी Exercise Questions को शामिल किया गया है। सभी प्रश्नों के उत्तर देने पर परिणाम शीर्ष पर दिखेगा।
✅ एक बार उत्तर चुनने के बाद बदला नहीं जा सकता। सभी 25 प्रश्नों के उत्तर देने पर परिणाम स्वतः दिखेगा।
📌 क्विज़ सेट का शीर्षक क्लिक करके खोलें/बंद करें।