📊 चक्रवृद्धि ब्याज (Compound Interest)
जानें कि चक्रवृद्धि ब्याज (Compound Interest) क्या है, वार्षिक, अर्द्धवार्षिक और तिमाही चक्रवृद्धि ब्याज की गणना, जनसंख्या वृद्धि, अवमूल्यन (Depreciation), तथा वस्तुओं के मूल्य में वृद्धि एवं घाटे की दर।
📋 Chapter Overview – एक नज़र में
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📖 अध्याय सामग्री (Chapter Content)
चक्रवृद्धि ब्याज (Compound Interest): वह ब्याज जिसमें प्रत्येक अवधि के अंत में ब्याज को मूलधन में जोड़ दिया जाता है और अगली अवधि का ब्याज इस नए मूलधन पर लगाया जाता है।
- शाब्दिक अर्थ: चक्र (चक्कर) + वृद्धि (बढ़ोत्तरी) – प्रत्येक चक्कर पर बढ़ोत्तरी वाला ब्याज।
- मूलधन (Principal): वह धन जिस पर ब्याज लगाया जाता है।
- मिश्रधन (Amount): मूलधन + ब्याज
- ब्याज की दर (Rate): प्रतिशत वार्षिक दर
- समय (Time): वर्षों की संख्या
- चक्रवृद्धि अवधि: वार्षिक, अर्द्धवार्षिक (छमाही), तिमाही
📖 चक्रवृद्धि ब्याज: ब्याज पर ब्याज – प्रत्येक अवधि में ब्याज मूलधन में जुड़ता है।
उदाहरण 1: ₹400 का 10% वार्षिक दर से 2 वर्ष का चक्रवृद्धि ब्याज ज्ञात कीजिए।
\(A = 400 \times (1 + \frac{10}{100})^2 = 400 \times (\frac{11}{10})^2 = 400 \times \frac{121}{100} = ₹484\)
\(CI = A - P = 484 - 400 = ₹84\)
चक्रवृद्धि ब्याज = ₹84
उदाहरण 2: ₹25,600 का 6.25% वार्षिक दर से 2 वर्ष का चक्रवृद्धि ब्याज ज्ञात कीजिए।
\(A = 25600 \times (1 + \frac{6.25}{100})^2 = 25600 \times (\frac{17}{16})^2 = 25600 \times \frac{289}{256} = ₹28900\)
\(CI = 28900 - 25600 = ₹3300\)
चक्रवृद्धि ब्याज = ₹3300
📈 वार्षिक चक्रवृद्धि: \(A = P(1 + \frac{r}{100})^n\) – ब्याज वार्षिक रूप से संयोजित होता है।
🔹 अर्द्धवार्षिक (छमाही) चक्रवृद्धि
उदाहरण: ₹2000 का 10% वार्षिक दर से 1 वर्ष का मिश्रधन ज्ञात कीजिए, जब ब्याज अर्द्धवार्षिक देय है।
P = ₹2000, r = 10% वार्षिक = 5% छमाही, n = 1 वर्ष = 2 छमाही
\(A = 2000 \times (1 + \frac{5}{100})^2 = 2000 \times (\frac{21}{20})^2 = 2000 \times \frac{441}{400} = ₹2205\)
\(CI = 2205 - 2000 = ₹205\)
मिश्रधन = ₹2205, चक्रवृद्धि ब्याज = ₹205
🔹 तिमाही चक्रवृद्धि
📊 अर्द्धवार्षिक/तिमाही: दर को विभाजित करें, समय को गुणा करें – \(r \to r/m\), \(n \to n \times m\)
जनसंख्या वृद्धि: जनसंख्या में वृद्धि चक्रवृद्धि ब्याज की भाँति होती है – प्रत्येक वर्ष नई जनसंख्या पर वृद्धि होती है।
उदाहरण: एक गाँव की जनसंख्या में 5% वार्षिक वृद्धि होती है। यदि वर्तमान जनसंख्या 4410 है, तो 2 वर्ष पूर्व की जनसंख्या ज्ञात कीजिए।
\(4410 = P \times (1 + \frac{5}{100})^2 = P \times (\frac{21}{20})^2\)
\(P = 4410 \times \frac{400}{441} = 4000\)
2 वर्ष पूर्व जनसंख्या = 4000
उदाहरण: एक नगर की जनसंख्या 31 दिसम्बर 1978 को 100000 थी। 10% वार्षिक वृद्धि पर 31 दिसम्बर 1981 को जनसंख्या क्या होगी?
\(A = 100000 \times (1 + \frac{10}{100})^3 = 100000 \times (\frac{11}{10})^3 = 100000 \times \frac{1331}{1000} = 133100\)
जनसंख्या = 1,33,100
🌍 जनसंख्या वृद्धि: \(A = P(1 + \frac{r}{100})^n\) – वृद्धि की दर और समय के साथ जनसंख्या बढ़ती है।
अवमूल्यन (Depreciation): समय के साथ वस्तुओं (मशीन, गाड़ी, भवन आदि) के मूल्य में कमी होना।
उदाहरण: एक टेलीविजन के मूल्य में प्रत्येक वर्ष 10% का अवमूल्यन होता है। यदि वर्तमान मूल्य ₹25000 है, तो 3 वर्ष बाद मूल्य क्या होगा?
\(A = 25000 \times (1 - \frac{10}{100})^3 = 25000 \times (\frac{9}{10})^3 = 25000 \times \frac{729}{1000} = ₹18225\)
3 वर्ष बाद मूल्य = ₹18,225
उदाहरण: एक मशीन का वर्तमान मूल्य ₹10830 है और अवमूल्यन दर 19% वार्षिक है। 2 वर्ष पूर्व मूल्य क्या था?
\(10830 = P \times (1 - \frac{19}{100})^2 = P \times (\frac{81}{100})^2\)
\(P = 10830 \times \frac{10000}{6561} = ₹12000\)
2 वर्ष पूर्व मूल्य = ₹12,000
📉 अवमूल्यन: \(A = P(1 - \frac{r}{100})^n\) – वस्तु के मूल्य में समय के साथ कमी।
अभ्यास 11(a) – चक्रवृद्धि ब्याज की गणना
प्रश्न 1: ₹400 का 10% वार्षिक दर से 2 वर्ष का चक्रवृद्धि ब्याज ज्ञात कीजिए।
हल:
\(A = 400 \times (1 + \frac{10}{100})^2 = 400 \times (\frac{11}{10})^2 = 400 \times \frac{121}{100} = ₹484\)
\(CI = 484 - 400 = ₹84\)
चक्रवृद्धि ब्याज = ₹84
प्रश्न 7: ₹2000 का 10% वार्षिक दर से \(1\frac{1}{2}\) वर्ष का चक्रवृद्धि ब्याज ज्ञात कीजिए, यदि ब्याज अर्द्धवार्षिक संयोजित होता है।
हल:
P = ₹2000, r = 10% वार्षिक = 5% छमाही
n = \(1\frac{1}{2}\) वर्ष = 3 छमाही
\(A = 2000 \times (1 + \frac{5}{100})^3 = 2000 \times (\frac{21}{20})^3 = 2000 \times \frac{9261}{8000} = ₹2315.25\)
\(CI = 2315.25 - 2000 = ₹315.25\)
चक्रवृद्धि ब्याज = ₹315.25
प्रश्न 12: कोई धन 5% वार्षिक चक्रवृद्धि ब्याज की दर से 2 वर्ष में ₹88720 हो जाता है। मूलधन ज्ञात कीजिए।
हल:
\(A = 88720 = P \times (1 + \frac{5}{100})^2 = P \times (\frac{21}{20})^2\)
\(P = 88720 \times \frac{400}{441} = ₹40871.655\)
मूलधन = ₹40871.66 (लगभग)
अभ्यास 11(b) – जनसंख्या वृद्धि एवं अवमूल्यन
प्रश्न 1: एक नगर की जनसंख्या 31 दिसम्बर 1978 को 100000 थी। यदि जनसंख्या में वृद्धि दर 10% वार्षिक हो, तो 31 दिसम्बर 1981 को जनसंख्या कितनी होगी?
हल:
\(A = 100000 \times (1 + \frac{10}{100})^3 = 100000 \times (\frac{11}{10})^3 = 100000 \times \frac{1331}{1000} = 133100\)
31 दिसम्बर 1981 को जनसंख्या = 1,33,100
प्रश्न 2: एक गाँव की जनसंख्या वार्षिक 5% बढ़ती है। यदि इस समय गाँव की जनसंख्या 4410 हो, तो 2 वर्ष पूर्व जनसंख्या कितनी थी?
हल:
\(4410 = P \times (1 + \frac{5}{100})^2 = P \times (\frac{21}{20})^2\)
\(P = 4410 \times \frac{400}{441} = 4000\)
2 वर्ष पूर्व जनसंख्या = 4000
प्रश्न 3: एक मोटर गाड़ी के मूल्य में प्रत्येक वर्ष 5% का अवमूल्यन होता है। यदि वर्तमान मूल्य ₹40,000 है, तो 2 वर्ष बाद मूल्य क्या होगा?
हल:
\(A = 40000 \times (1 - \frac{5}{100})^2 = 40000 \times (\frac{19}{20})^2 = 40000 \times \frac{361}{400} = ₹36100\)
2 वर्ष बाद मूल्य = ₹36,100
📝 अभ्यास: चक्रवृद्धि ब्याज के सूत्रों का अभ्यास – वार्षिक, अर्द्धवार्षिक, तिमाही, जनसंख्या वृद्धि, अवमूल्यन।
- चक्रवृद्धि ब्याज: ब्याज पर ब्याज – प्रत्येक अवधि में ब्याज मूलधन में जुड़ता है।
- वार्षिक चक्रवृद्धि: \(A = P(1 + \frac{r}{100})^n\), \(CI = A - P\)
- अर्द्धवार्षिक चक्रवृद्धि: दर = \(\frac{r}{2}\)%, समय = \(2n\) छमाही
- तिमाही चक्रवृद्धि: दर = \(\frac{r}{4}\)%, समय = \(4n\) तिमाही
- जनसंख्या वृद्धि: \(A = P(1 + \frac{r}{100})^n\) – वृद्धि की दर से
- अवमूल्यन (Depreciation): \(A = P(1 - \frac{r}{100})^n\) – घाटे की दर से
- चक्रवृद्धि ब्याज = मिश्रधन – मूलधन
- जितनी अधिक बार संयोजन, उतना अधिक ब्याज
- चक्रवृद्धि ब्याज में \(P, r, n\) में से कोई तीन ज्ञात होने पर चौथी ज्ञात की जा सकती है।
✅ मुख्य बिंदु
चक्रवृद्धि ब्याज – वित्तीय गणित की महत्वपूर्ण अवधारणा। \(A = P(1 + \frac{r}{100})^n\) – यह सूत्र वार्षिक, अर्द्धवार्षिक और तिमाही चक्रवृद्धि के लिए समायोजित किया जा सकता है। जनसंख्या वृद्धि और अवमूल्यन – दोनों ही चक्रवृद्धि ब्याज के अनुप्रयोग हैं। जितनी अधिक बार ब्याज संयोजित होता है, उतना अधिक ब्याज मिलता है।
🧠 माइंडमैप – चक्रवृद्धि ब्याज
🧩 मिलान अभ्यास – अध्याय 11: चक्रवृद्धि ब्याज
✅ प्रत्येक row में 6 विकल्प दिखेंगे – सही चुनें और तुरंत परिणाम देखें।
🧠 Practice Quiz – अध्याय 11: चक्रवृद्धि ब्याज
✅ एक बार उत्तर चुनने के बाद बदला नहीं जा सकता।