📐 सर्वसमिकाएँ (Identities)
जानें कि सर्वसमिकाएँ (Identities) क्या हैं, \((a+b)^3\), \((a-b)^3\), \((a+b+c)^2\) का विस्तार, ज्यामितीय निरूपण, तथा सर्वसमिकाओं के अनुप्रयोग – संख्याओं के घन ज्ञात करना, व्यंजकों का सरलीकरण, और मान ज्ञात करना।
📋 Chapter Overview – एक नज़र में
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📖 अध्याय सामग्री (Chapter Content)
सर्वसमिका (Identity): वह बीजीय संबंध जो चर (Variables) के प्रत्येक मान के लिए सत्य होता है।
- पिछली कक्षाओं में सीखी सर्वसमिकाएँ:
- \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)
- \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\)
- \(a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)\)
- इस अध्याय में: \((a+b)^3\), \((a-b)^3\), \((a+b+c)^2\)
📖 सर्वसमिका: चर के सभी मानों के लिए सत्य – बीजगणित की आधारशिला
🔹 विस्तार (Expansion):
\((a+b)^3 = (a+b)(a+b)^2\)
\(= (a+b)(a^2 + 2ab + b^2)\)
\(= a^3 + 2a^2b + ab^2 + a^2b + 2ab^2 + b^3\)
\(= a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\)
\(\therefore (a+b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a+b)\)
🔹 उदाहरण:
उदाहरण 1: \((x+1)^3\) का प्रसार कीजिए।
\( (x+1)^3 = x^3 + 1^3 + 3x·1(x+1) = x^3 + 1 + 3x(x+1)\)
\(x^3 + 3x^2 + 3x + 1\)
उदाहरण 2: यदि \(a + b = 5\) और \(ab = 6\), तो \(a^3 + b^3\) का मान ज्ञात कीजिए।
\((a+b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a+b)\)
\(5^3 = a^3 + b^3 + 3×6×5\) → \(125 = a^3 + b^3 + 90\)
\(a^3 + b^3 = 35\)
🔢 \((a+b)^3\): योग का घन = \(a^3 + b^3 + 3ab(a+b)\)
🔹 विस्तार (Expansion):
\((a-b)^3 = (a-b)(a-b)^2\)
\(= (a-b)(a^2 - 2ab + b^2)\)
\(= a^3 - 2a^2b + ab^2 - a^2b + 2ab^2 - b^3\)
\(= a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3\)
\(\therefore (a-b)^3 = a^3 - b^3 - 3ab(a-b)\)
🔹 उदाहरण:
उदाहरण 1: \((x-1)^3\) का प्रसार कीजिए।
\( (x-1)^3 = x^3 - 1^3 - 3x·1(x-1) = x^3 - 1 - 3x(x-1)\)
\(x^3 - 3x^2 + 3x - 1\)
उदाहरण 2: यदि \(x - \frac{1}{x} = \frac{3}{2}\), तो \(x^3 - \frac{1}{x^3}\) का मान ज्ञात कीजिए।
\(\left(x - \frac{1}{x}\right)^3 = x^3 - \frac{1}{x^3} - 3\left(x - \frac{1}{x}\right)\)
\(\left(\frac{3}{2}\right)^3 = x^3 - \frac{1}{x^3} - 3 \times \frac{3}{2}\)
\(\frac{27}{8} = x^3 - \frac{1}{x^3} - \frac{9}{2}\) → \(x^3 - \frac{1}{x^3} = \frac{63}{8}\)
\(x^3 - \frac{1}{x^3} = \frac{63}{8}\)
🔢 \((a-b)^3\): अन्तर का घन = \(a^3 - b^3 - 3ab(a-b)\)
🔹 विस्तार (Expansion):
\((a+b+c)^2 = (a+b+c)(a+b+c)\)
\(= a^2 + ab + ac + ab + b^2 + bc + ac + bc + c^2\)
\(= a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca\)
🔹 उदाहरण:
उदाहरण 1: \((x+2y+3z)^2\) का प्रसार कीजिए।
\(= x^2 + (2y)^2 + (3z)^2 + 2(x)(2y) + 2(2y)(3z) + 2(3z)(x)\)
\(x^2 + 4y^2 + 9z^2 + 4xy + 12yz + 6zx\)
उदाहरण 2: यदि \(a + b + c = 12\) और \(a^2 + b^2 + c^2 = 64\), तो \(ab + bc + ca\) का मान ज्ञात कीजिए।
\((a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab+bc+ca)\)
\(144 = 64 + 2(ab+bc+ca)\) → \(80 = 2(ab+bc+ca)\)
\(ab + bc + ca = 40\)
🔷 \((a+b+c)^2\): \(a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca\)
1. संख्याओं के घन ज्ञात करना
उदाहरण: \(99^3\) का मान ज्ञात कीजिए।
\(99 = 100 - 1\)
\((100-1)^3 = 100^3 - 1^3 - 3×100×1(100-1)\)
\(= 1000000 - 1 - 300×99 = 999999 - 29700\)
\(99^3 = 970299\)
उदाहरण: \(401^3\) का मान ज्ञात कीजिए।
\((400+1)^3 = 400^3 + 1^3 + 3×400×1(400+1)\)
\(= 64000000 + 1 + 1200×401 = 64000001 + 481200\)
\(401^3 = 64481201\)
2. व्यंजकों का सरलीकरण
उदाहरण: \(\left(\frac{x}{3} + \frac{y}{5}\right)^3 - \left(\frac{x}{3} - \frac{y}{5}\right)^3\) को सरल कीजिए।
\((a+b)^3 - (a-b)^3 = 2b^3 + 6a^2b\)
यहाँ \(a = \frac{x}{3}, b = \frac{y}{5}\)
\(\frac{2y^3}{125} + \frac{2x^2y}{15}\)
3. मान ज्ञात करना
उदाहरण: यदि \(a+b=3\) और \(ab=2\), तो \(a^3+b^3\) का मान ज्ञात कीजिए।
\((a+b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a+b)\)
\(27 = a^3 + b^3 + 3×2×3\) → \(27 = a^3 + b^3 + 18\)
\(a^3 + b^3 = 9\)
💡 अनुप्रयोग: संख्याओं के घन, सरलीकरण, मान ज्ञात करना
- सर्वसमिका: चर के सभी मानों के लिए सत्य बीजीय संबंध
- \((a+b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a+b)\)
- योग का घन – \(a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\)
- \((a-b)^3 = a^3 - b^3 - 3ab(a-b)\)
- अन्तर का घन – \(a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3\)
- \((a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca\)
- अनुप्रयोग:
- संख्याओं के घन (जैसे \(99^3\), \(401^3\))
- व्यंजकों का सरलीकरण
- दिए गए मानों से अन्य मान ज्ञात करना
- ज्यामितीय निरूपण: सर्वसमिकाओं को आकृतियों द्वारा सत्यापित करना
- सूत्र: \((a+b)^3 + (a-b)^3 = 2a(a^2+3b^2)\)
- सूत्र: \((a+b)^3 - (a-b)^3 = 2b(3a^2+b^2)\)
✅ मुख्य बिंदु
सर्वसमिकाएँ – बीजगणित की आधारशिला। \((a+b)^3\), \((a-b)^3\), \((a+b+c)^2\) – ये तीन सर्वसमिकाएँ अत्यंत महत्वपूर्ण हैं। इनके अनुप्रयोग – संख्याओं के घन ज्ञात करना, व्यंजकों को सरल करना, और मान ज्ञात करना – गणितीय समस्याओं को हल करने में सहायक हैं। ज्यामितीय निरूपण से इन सर्वसमिकाओं का दृश्य सत्यापन होता है।
🧠 माइंडमैप – सर्वसमिकाएँ
🧩 मिलान अभ्यास – अध्याय 4: सर्वसमिकाएँ
✅ प्रत्येक row में 6 विकल्प दिखेंगे – सही चुनें और तुरंत परिणाम देखें।
🧠 Practice Quiz – अध्याय 4: सर्वसमिकाएँ
✅ एक बार उत्तर चुनने के बाद बदला नहीं जा सकता।