📐 वर्ग समीकरण (Quadratic Equations)
जानें कि वर्ग समीकरण (Quadratic Equation) क्या है, \(x^2 = k\) के रूप के समीकरणों का हल, \(ax^2 + bx + c = 0\) के प्रकार के समीकरणों को गुणनखंड विधि द्वारा हल करना, तथा वार्तिक प्रश्नों (Word Problems) को हल करना।
📋 Chapter Overview – एक नज़र में
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📖 अध्याय सामग्री (Chapter Content)
वर्ग समीकरण (Quadratic Equation): वह समीकरण जिसमें चर (Variable) की अधिकतम घात (Degree) 2 होती है।
- रूप: \(ax^2 + bx + c = 0\), जहाँ \(a \neq 0\)
- उदाहरण: \(x^2 = 9\), \(3x^2 + 10x + 8 = 0\), \(2x^2 + 5x - 7 = 0\)
- इन्हें द्विघात समीकरण भी कहते हैं।
- प्राचीन भारतीय गणितज्ञ श्रीधराचार्य ने इसका हल सूत्र दिया था।
📖 वर्ग समीकरण: \(ax^2 + bx + c = 0\), \(a \neq 0\) – चर की अधिकतम घात 2
उदाहरण 1: \(x^2 - 25 = 0\)
\(x^2 = 25\) → \(x = \pm \sqrt{25} = \pm 5\)
\(x = 5\) या \(x = -5\)
उदाहरण 2: \(4x^2 = 9\)
\(x^2 = \frac{9}{4}\) → \(x = \pm \frac{3}{2}\)
\(x = \frac{3}{2}\) या \(x = -\frac{3}{2}\)
उदाहरण 3: \(x^2 - 24 = 0\)
\(x^2 = 24\) → \(x = \pm \sqrt{24} = \pm 2\sqrt{6}\)
\(x = 2\sqrt{6}\) या \(x = -2\sqrt{6}\)
🔢 \(x^2 = k\): \(x = \pm \sqrt{k}\) – दोनों चिह्नों पर विचार करें।
मूल सिद्धांत: यदि दो व्यंजकों का गुणनफल शून्य है, तो कम से कम एक व्यंजक शून्य होता है।
यदि \((x-a)(x-b) = 0\), तो \(x = a\) या \(x = b\)
गुणनखंड के लिए (जब \(a = 1\)):
उदाहरण 1: \(x^2 - 12x + 35 = 0\)
\((x-5)(x-7) = 0\) → \(x = 5\) या \(x = 7\)
\(x = 5, 7\)
गुणनखंड के लिए (जब \(a \neq 1\)):
उदाहरण 2: \(3x^2 + 10x + 8 = 0\)
\(3x^2 + 4x + 6x + 8 = 0\) → \(x(3x+4) + 2(3x+4) = 0\) → \((3x+4)(x+2) = 0\)
\(x = -\frac{4}{3}\) या \(x = -2\)
\(x = -\frac{4}{3}, -2\)
उदाहरण 3: \(12x^2 - 11x - 15 = 0\)
\(12x^2 - 20x + 9x - 15 = 0\) → \(4x(3x-5) + 3(3x-5) = 0\) → \((3x-5)(4x+3) = 0\)
\(x = \frac{5}{3}\) या \(x = -\frac{3}{4}\)
\(x = \frac{5}{3}, -\frac{3}{4}\)
🧩 गुणनखंड विधि: दो संख्याएँ \(l, m\) ऐसी कि \(l+m = b\) और \(lm = ac\)
चरण (Steps):
उदाहरण 1: एक वर्ग का क्षेत्रफल 64 वर्ग सेमी है। भुजा ज्ञात कीजिए।
माना भुजा = \(x\) सेमी, \(x^2 = 64\) → \(x = \pm 8\)
ऋणात्मक मान अमान्य → \(x = 8\) सेमी
भुजा = 8 सेमी
उदाहरण 2: एक आयताकार बाग की लम्बाई, चौड़ाई की 3 गुनी है। क्षेत्रफल 243 वर्ग मी है। लम्बाई ज्ञात कीजिए।
माना चौड़ाई = \(x\) मी, लम्बाई = \(3x\) मी
क्षेत्रफल = \(3x \cdot x = 3x^2 = 243\) → \(x^2 = 81\) → \(x = 9\)
लम्बाई = \(3 \times 9 = 27\) मी
लम्बाई = 27 मी
उदाहरण 3 (PDF से): एक स्टीमर 10 किमी दूरी बहाव के साथ और विपरीत 50 मिनट में तय करता है। स्थिर जल में चाल 25 किमी/घंटा है। धारा की चाल ज्ञात कीजिए।
माना धारा की चाल = \(x\) किमी/घंटा
बहाव में समय = \(\frac{10}{25+x}\), विपरीत = \(\frac{10}{25-x}\)
कुल समय = 50 मिनट = \(\frac{5}{6}\) घंटे
\(\frac{10}{25+x} + \frac{10}{25-x} = \frac{5}{6}\)
हल करने पर \(x = 5\) किमी/घंटा
धारा की चाल = 5 किमी/घंटा
💡 वार्तिक प्रश्न: समस्या को समीकरण में बदलें, हल करें, और उचित मान चुनें (ऋणात्मक अमान्य)।
- वर्ग समीकरण: \(ax^2 + bx + c = 0\), \(a \neq 0\) – चर की अधिकतम घात 2
- \(x^2 = k\): \(x = \pm \sqrt{k}\) (यदि \(k \ge 0\))
- गुणनखंड विधि: \(ax^2 + bx + c\) को गुणनखंडों में तोड़ें, प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखें।
- गुणनखंड के लिए दो संख्याएँ \(l, m\) ऐसी कि \(l+m = b\) और \(lm = ac\)
- वार्तिक प्रश्न: समस्या का समीकरण बनाएँ, हल करें, और व्यावहारिक मान (धनात्मक) चुनें।
- सत्यापन: प्राप्त मानों को मूल समीकरण में रखकर जाँच करें।
- वर्ग समीकरण के अधिकतम दो हल होते हैं।
✅ मुख्य बिंदु
वर्ग समीकरण – \(ax^2 + bx + c = 0\) – गणित की महत्वपूर्ण अवधारणा। \(x^2 = k\) के रूप के समीकरणों को वर्गमूल द्वारा हल किया जाता है। \(ax^2 + bx + c = 0\) को गुणनखंड विधि द्वारा हल किया जा सकता है, जिसमें दो संख्याएँ \(l, m\) ऐसी चाहिए कि \(l+m = b\) और \(lm = ac\)। वार्तिक प्रश्नों को समीकरण में रूपान्तरित करके हल करना सीखा।
🧠 माइंडमैप – वर्ग समीकरण
🧩 मिलान अभ्यास – अध्याय 8: वर्ग समीकरण
✅ प्रत्येक row में 6 विकल्प दिखेंगे – सही चुनें और तुरंत परिणाम देखें।
🧠 Practice Quiz – अध्याय 8: वर्ग समीकरण
✅ एक बार उत्तर चुनने के बाद बदला नहीं जा सकता।