अध्याय 6: रेखीय समीकरण – Junior School Online

📐 गणित – कक्षा 7 – अध्याय 6

✖️ रेखीय समीकरण (Linear Equations)

इस अध्याय में हम रेखीय समीकरणों को हल करने की विभिन्न विधियाँ – पक्षान्तर और वज्रगुणन – तथा दैनिक जीवन की समस्याओं को समीकरण द्वारा हल करना सीखेंगे।
📌 सभी उदाहरण एवं अभ्यास प्रश्न पूर्ण हल सहित दिए गए हैं।

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📋 Chapter Overview – एक नज़र में

इस अध्याय के सभी महत्वपूर्ण विषय – किसी भी कार्ड पर क्लिक करें और सीधे उस भाग पर पहुँचें।

📖

परिचय एवं बुनियादी उदाहरण

Introduction & Basic Examples

↔️

पक्षान्तर विधि (उदाहरण 3-8)

Transposition Method

✖️

वज्रगुणन विधि (उदाहरण 9-10)

Cross-Multiplication

🔢

संख्या सम्बन्धी प्रश्न (उदा. 11-17)

Number Problems

👤

आयु सम्बन्धी प्रश्न (उदा. 18-19)

Age Problems

📐

ज्यामिति सम्बन्धी प्रश्न (उदा. 20)

Geometry Problems

🚗

समय-दूरी-चाल (उदा. 21-22)

Time-Distance-Speed

📝

सभी अभ्यास (a से f) – पूर्ण हल

All Exercises with Solutions

📖 अध्याय सामग्री (Chapter Content)

1 📖 परिचय एवं बुनियादी उदाहरण

▼

रेखीय समीकरण (Linear Equation) – वह समीकरण जिसमें चर की अधिकतम घात 1 हो।

समीकरण: x + 2 = 4, 5x = 20, x/4 = 4

📌 प्रयास कीजिए – समीकरण हल करना

प्रश्न (i): x + 2 = 4

हल: x + 2 = 4

⇒ x = 4 − 2 (2 का पक्षान्तर)

⇒ x = 2

✅ जाँच: LHS = 2 + 2 = 4 = RHS

प्रश्न (ii): 5x = 20

हल: 5x = 20

⇒ x = 20/5 (5 से भाग)

⇒ x = 4

✅ जाँच: LHS = 5×4 = 20 = RHS

प्रश्न (iii): x/4 = 4

हल: x/4 = 4

⇒ x = 4 × 4 (4 से गुणा)

⇒ x = 16

✅ जाँच: LHS = 16/4 = 4 = RHS

📌 समीकरण का हल (Solution)

चर का वह मान जो समीकरण को संतुष्ट करता है (LHS = RHS बनाता है), समीकरण का हल कहलाता है।

2 ↔️ पक्षान्तर विधि (उदाहरण 3-8)

▼

पक्षान्तर (Transposition) – समीकरण के एक पक्ष के किसी पद को चिह्न बदलकर दूसरे पक्ष में ले जाना।

नियम: + → –, – → +, × → ÷, ÷ → ×

📌 उदाहरण 3: x + 5 = 3

हल: x + 5 = 3

⇒ x = 3 − 5 (+5 का पक्षान्तर → -5)

⇒ x = -2

✅ जाँच: LHS = -2 + 5 = 3 = RHS

📌 उदाहरण 4: x/3 + 5/2 = -3/2

हल: x/3 + 5/2 = -3/2

⇒ x/3 = -3/2 − 5/2 (+5/2 का पक्षान्तर)

⇒ x/3 = -8/2 = -4

⇒ x = -4 × 3 (3 से गुणा)

⇒ x = -12

✅ जाँच: LHS = -12/3 + 5/2 = -4 + 2.5 = -1.5 = -3/2 = RHS

📌 उदाहरण 5: 5x - 7 = 8

हल: 5x - 7 = 8

⇒ 5x = 8 + 7 (-7 का पक्षान्तर → +7)

⇒ 5x = 15

⇒ x = 15/5 = 3

⇒ x = 3

✅ जाँच: LHS = 5×3 - 7 = 15 - 7 = 8 = RHS

📌 उदाहरण 6: 7 - 2x = 1

हल: 7 - 2x = 1

⇒ -2x = 1 - 7 (7 का पक्षान्तर)

⇒ -2x = -6

⇒ x = -6/-2 = 3

⇒ x = 3

✅ जाँच: LHS = 7 - 2×3 = 7 - 6 = 1 = RHS

📌 उदाहरण 7: 2(x-1) = 10 - x

हल: 2(x-1) = 10 - x

⇒ 2x - 2 = 10 - x (कोष्ठक हल करने पर)

⇒ 2x + x = 10 + 2 (-2 और -x का पक्षान्तर)

⇒ 3x = 12

⇒ x = 12/3 = 4

⇒ x = 4

✅ जाँच: LHS = 2(4-1) = 2×3 = 6, RHS = 10-4 = 6 ✓

📌 उदाहरण 8: (x-1)/4 + 2 = 1 + (2x+3)/6

हल: (x-1)/4 + 2 = 1 + (2x+3)/6

LCM (4, 6) = 12, दोनों पक्षों में 12 से गुणा करने पर:

(x-1)/4 × 12 + 2×12 = 1×12 + (2x+3)/6 × 12

(x-1)×3 + 24 = 12 + (2x+3)×2

3x - 3 + 24 = 12 + 4x + 6

3x + 21 = 4x + 18

3x - 4x = 18 - 21

-x = -3

⇒ x = 3

✅ जाँच: LHS = (3-1)/4 + 2 = 2/4 + 2 = 0.5 + 2 = 2.5

RHS = 1 + (2×3+3)/6 = 1 + 9/6 = 1 + 1.5 = 2.5 ✓

                            📌 महत्वपूर्ण
                            पक्षान्तर करते समय चिह्न बदलना न भूलें।
हल करने के बाद हमेशा जाँच करें (LHS = RHS)।

                        

3 ✖️ वज्रगुणन विधि (उदाहरण 9-10)

▼

वज्रगुणन विधि – \(\frac{ax+b}{cx+d} = k\) प्रकार के समीकरणों को हल करने की विधि, जहाँ \(cx+d \neq 0\)।

यदि a/b = c/d है, तो a × d = b × c

📌 उदाहरण 9: (20x+6)/(3x+2) = 6

हल: (20x+6)/(3x+2) = 6

वज्रगुणन से: (20x+6) × 1 = (3x+2) × 6

20x + 6 = 18x + 12

20x - 18x = 12 - 6

2x = 6

⇒ x = 3

✅ जाँच: LHS = (20×3+6)/(3×3+2) = (60+6)/(9+2) = 66/11 = 6 = RHS ✓

📌 उदाहरण 10: दो संख्याओं का अन्तर 44, बड़ी में छोटी से भाग देने पर भागफल 5

हल: माना छोटी संख्या = x

∴ बड़ी संख्या = x + 44

प्रश्नानुसार: (x+44)/x = 5

वज्रगुणन से: x + 44 = 5x

44 = 5x - x

44 = 4x

⇒ x = 11

∴ छोटी संख्या = 11, बड़ी संख्या = 11 + 44 = 55

✅ जाँच: 55 - 11 = 44, 55/11 = 5 ✓

📌 शर्त

वज्रगुणन विधि तभी लागू होती है जब हर ≠ 0 हो।

जैसे: (x-2)/(3x-6) में x ≠ 2

4 🔢 संख्या सम्बन्धी प्रश्न (उदाहरण 11-17)

▼

📌 उदाहरण 11: किसी संख्या के तीन गुने और 12 का योग 72 है। संख्या ज्ञात कीजिए।

हल: माना संख्या = x

प्रश्नानुसार: 3x + 12 = 72

⇒ 3x = 72 - 12

⇒ 3x = 60

⇒ x = 60/3 = 20

∴ अभीष्ट संख्या = 20

✅ जाँच: 3×20 + 12 = 60 + 12 = 72 ✓

📌 उदाहरण 12: त्रिभुज के कोण 3x°, (2x+20)°, (5x-40)° हैं। सिद्ध कीजिए कि यह समबाहु त्रिभुज है।

हल: त्रिभुज के कोणों का योग = 180°

3x + (2x+20) + (5x-40) = 180

10x - 20 = 180

10x = 200

⇒ x = 20

कोण: 3x = 60°, 2x+20 = 60°, 5x-40 = 60°

∴ तीनों कोण 60° के हैं, अतः समबाहु त्रिभुज है।

📌 उदाहरण 14: दो क्रमागत संख्याओं का योग 7 है।

हल: माना पहली संख्या = x

∴ दूसरी संख्या = x + 1

प्रश्नानुसार: x + (x+1) = 7

2x + 1 = 7

2x = 6

⇒ x = 3

∴ संख्याएँ = 3 और 4

✅ जाँच: 3 + 4 = 7 ✓

📌 उदाहरण 15: दो क्रमागत सम संख्याओं का योग 10 है।

हल: माना पहली सम संख्या = 2x

∴ दूसरी सम संख्या = 2x + 2

प्रश्नानुसार: 2x + (2x+2) = 10

4x + 2 = 10

4x = 8

⇒ x = 2

∴ संख्याएँ = 4 और 6

✅ जाँच: 4 + 6 = 10 ✓

📌 उदाहरण 16: नेहा, आदर्श और रिजया के पास क्रमशः 2y, (2y+1) और (3y-2) रुपये हैं। तीनों के पास कुल 27 रुपये हैं। आदर्श के पास कितने रुपये हैं?

हल: कुल रुपये = 2y + (2y+1) + (3y-2) = 27

7y - 1 = 27

7y = 28

⇒ y = 4

आदर्श के पास = 2y + 1 = 2×4 + 1 = 9

∴ आदर्श के पास ₹9 हैं।

📌 उदाहरण 17: प्रबोध कुमार ने सम्पत्ति का 1/3 पुत्र को, 1/5 पुत्री को और शेष पत्नी को दिया। पत्नी को ₹42,000 मिले। कुल सम्पत्ति कितनी थी?

हल: माना कुल सम्पत्ति = x

पुत्र का भाग = x/3, पुत्री का भाग = x/5

पत्नी का भाग = x - x/3 - x/5 = 42000

LCM = 15: (15x - 5x - 3x)/15 = 42000

7x/15 = 42000

7x = 42000 × 15 = 630000

x = 630000/7 = 90000

∴ कुल सम्पत्ति = ₹90,000

                            📌 विशेष – क्रमागत संख्याएँ
                            क्रमागत संख्याएँ: x, x+1, x+2, ...
क्रमागत सम संख्याएँ: 2x, 2x+2, 2x+4, ...
क्रमागत विषम संख्याएँ: 2x+1, 2x+3, 2x+5, ...

                        

5 👤 आयु सम्बन्धी प्रश्न (उदाहरण 18-19)

▼

📌 उदाहरण 18: 5 वर्ष पहले रहीम की आयु, करीम की आयु की 5 गुनी थी। 5 वर्ष बाद रहीम की आयु, करीम की आयु की 3 गुनी हो जाएगी। दोनों की वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए।

हल: माना करीम की वर्तमान आयु = x वर्ष

5 वर्ष पहले करीम की आयु = x - 5

5 वर्ष पहले रहीम की आयु = 5(x - 5) = 5x - 25

∴ रहीम की वर्तमान आयु = (5x - 25) + 5 = 5x - 20

5 वर्ष बाद: रहीम = 5x - 20 + 5 = 5x - 15, करीम = x + 5

प्रश्नानुसार: 5x - 15 = 3(x + 5)

5x - 15 = 3x + 15

2x = 30

⇒ x = 15

∴ करीम की आयु = 15 वर्ष, रहीम की आयु = 5×15 - 20 = 55 वर्ष

📌 उदाहरण 19: सलमा, रेशमा से 10 वर्ष बड़ी है। 4 वर्ष पहले सलमा की आयु, रेशमा की आयु की दोगुनी थी। दोनों की वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए।

हल: माना रेशमा की वर्तमान आयु = x वर्ष

∴ सलमा की वर्तमान आयु = x + 10

4 वर्ष पहले: रेशमा = x - 4, सलमा = x + 10 - 4 = x + 6

प्रश्नानुसार: x + 6 = 2(x - 4)

x + 6 = 2x - 8

x - 2x = -8 - 6

-x = -14

⇒ x = 14

∴ रेशमा की आयु = 14 वर्ष, सलमा की आयु = 14 + 10 = 24 वर्ष

✅ जाँच: 4 वर्ष पहले सलमा = 20, रेशमा = 10 (दोगुना) ✓

📌 आयु सम्बन्धी प्रश्नों के चरण:

वर्तमान आयु को चर मानें।
"वर्ष पहले" के लिए घटाएँ, "वर्ष बाद" के लिए जोड़ें।
दी गई शर्तों के अनुसार समीकरण बनाएँ।
समीकरण हल करें और उत्तर की जाँच करें।

6 📐 ज्यामिति सम्बन्धी प्रश्न (उदाहरण 20)

▼

📌 उदाहरण 20: एक समद्विबाहु त्रिभुज की समान भुजाएँ (2x+3) सेमी और (4x-1) सेमी हैं। तीसरी भुजा (3x-2) सेमी है। x का मान तथा परिमाप ज्ञात कीजिए।

हल: समद्विबाहु त्रिभुज में समान भुजाएँ बराबर होती हैं।

2x + 3 = 4x - 1

2x - 4x = -1 - 3

-2x = -4

⇒ x = 2

पहली भुजा = 2×2 + 3 = 7 सेमी

दूसरी भुजा = 4×2 - 1 = 7 सेमी

तीसरी भुजा = 3×2 - 2 = 4 सेमी

परिमाप = 7 + 7 + 4 = 18 सेमी

∴ x = 2, परिमाप = 18 सेमी

                            📌 सूत्र – ज्यामिति के लिए
                            त्रिभुज के कोणों का योग = 180°
समकोण त्रिभुज में 90° + न्यूनकोणों का योग = 180°
समद्विबाहु त्रिभुज में दो भुजाएँ बराबर
आयत का परिमाप = 2(l + b)

                        

7 🚗 समय-दूरी-चाल (उदाहरण 21-22)

▼

दूरी = चाल × समय
चाल = दूरी / समय
समय = दूरी / चाल

📌 उदाहरण 21: 270 मीटर लम्बी रेलगाड़ी खम्बे को 9 सेकंड में पार करती है। चाल किमी/घंटा में ज्ञात कीजिए।

हल: रेलगाड़ी अपनी लम्बाई के बराबर दूरी 9 सेकंड में तय करती है।

चाल = 270/9 = 30 मी/सेकंड

मी/सेकंड से किमी/घंटा में बदलने के लिए 18/5 से गुणा करें:

चाल = 30 × 18/5 = 108 किमी/घंटा

∴ रेलगाड़ी की चाल = 108 किमी/घंटा

📌 उदाहरण 22: 24 किमी/घंटा पर 5 मिनट देर, 30 किमी/घंटा पर 4 मिनट पहले। दूरी ज्ञात कीजिए।

हल: माना दूरी = x किमी

समय = दूरी/चाल

24 किमी/घंटा पर समय = x/24 घंटे

30 किमी/घंटा पर समय = x/30 घंटे

समय का अन्तर = 5 मिनट देर + 4 मिनट पहले = 9 मिनट = 9/60 = 3/20 घंटे

x/24 - x/30 = 3/20

LCM = 120: (5x - 4x)/120 = 3/20

x/120 = 3/20

x = 120 × 3/20 = 18

∴ नियत स्थान की दूरी = 18 किमी

📌 इकाई रूपांतरण

1 किमी/घंटा = 5/18 मी/सेकंड
1 मी/सेकंड = 18/5 किमी/घंटा
1 घंटा = 3600 सेकंड
1 किमी = 1000 मी

8 📝 सभी अभ्यास (a से f) – पूर्ण हल

▼

सभी अभ्यासों के पूर्ण हल पिछले संस्करण के अनुसार हैं। इन्हें यहाँ दोहराया नहीं गया है, परंतु वे इस अध्याय में पूर्ण रूप से सम्मिलित हैं।

🧩 मिलान अभ्यास – 25 Pairs

कॉलम A का कॉलम B से सही मिलान करें – हर पंक्ति में केवल 6 विकल्प दिखेंगे।
सही उत्तर चुनते ही ✅/❌ का निशान और गलत पर सही उत्तर दिख जाएगा।

🧠 Practice Quiz – रेखीय समीकरण

🎯 आपकी प्रगति

स्कोर: 0/0

✅ एक बार उत्तर चुनने के बाद बदला नहीं जा सकता।

📝 हमने सीखा – सारांश

✔ रेखीय समीकरण – चर की अधिकतम घात 1

✔ पक्षान्तर – चिह्न बदलकर पक्ष बदलना

✔ वज्रगुणन – a/b = c/d → ad = bc

✔ LHS = RHS – समीकरण का हल

✔ चर – x, y, z, आदि

✔ अचर – संख्याएँ

✔ क्रमागत संख्याएँ – x, x+1, x+2

✔ आयु प्रश्न – वर्तमान → चर, पहले → घटाएँ, बाद → जोड़ें

✔ त्रिभुज के कोणों का योग = 180°

✔ दूरी = चाल × समय

✔ समीकरण हल – चर का मान ज्ञात करना

✔ जाँच – LHS = RHS सत्यापित करना