⚖️ रेखीय समीकरण (Linear Equations)
इस अध्याय में हम रेखीय समीकरण की अवधारणा, समीकरणों को हल करने की विभिन्न विधियाँ (त्रुटि एवं प्रयत्न, संतुलन, पक्षान्तर) तथा दैनिक जीवन के शाब्दिक प्रश्नों को समीकरण के रूप में हल करना सीखेंगे।
📋 Chapter Overview – एक नज़र में
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📖 अध्याय सामग्री (Chapter Content)
समीकरण (Equation) – दो व्यंजकों के बीच समता (बराबर) का चिह्न (=) वाला कथन।
- चर (Variable) – वह संख्या जिसका मान निश्चित न हो (जैसे x, y, a, b)।
- अचर (Constant) – वह संख्या जिसका मान निश्चित हो (जैसे 5, 10, -3)।
- बायाँ पक्ष (LHS) – समता चिह्न के बायीं ओर का व्यंजक।
- दायाँ पक्ष (RHS) – समता चिह्न के दायीं ओर का व्यंजक।
📌 उदाहरण
3x + 5 = 17 – यहाँ चर = x, अचर = 3, 5, 17; LHS = 3x+5, RHS = 17
💡 रेखीय समीकरण
एक चर वाला रेखीय समीकरण वह होता है जिसमें चर की अधिकतम घात 1 हो।
हल (Solution) – चर का वह मान जो समीकरण को सन्तुष्ट करता है (LHS = RHS बनाता है)।
मूल (Root) – हल को ही समीकरण का मूल भी कहते हैं।
📌 उदाहरण
समीकरण x + 6 = 9 का हल x = 3 है, क्योंकि 3+6 = 9
📌 जाँच
हल करने के बाद हमेशा जाँच करें कि LHS = RHS हो।
इस विधि में हम चर को विभिन्न मान देकर जाँचते हैं कि किस मान पर समीकरण सन्तुष्ट होती है।
📌 उदाहरण: x + 6 = 9
x = 2 → 2+6=8 (नहीं)
x = 3 → 3+6=9 (हाँ!)
∴ x = 3
💡 यह विधि सरल समीकरणों के लिए उपयुक्त है, किन्तु बड़े समीकरणों के लिए अन्य विधियाँ अपनाई जाती हैं।
नियम: समीकरण के दोनों पक्षों में समान संख्या जोड़ने, घटाने, गुणा करने या (शून्येतर) भाग देने से समीकरण अपरिवर्तित रहता है।
📌 उदाहरण 1: 3a + 5 = 17
दोनों पक्षों में 5 घटाएँ: 3a + 5 - 5 = 17 - 5 → 3a = 12
दोनों पक्षों में 3 का भाग दें: 3a ÷ 3 = 12 ÷ 3 → a = 4
📌 उदाहरण 2: x/2 − 1 = 2
दोनों पक्षों में 1 जोड़ें: x/2 − 1 + 1 = 2 + 1 → x/2 = 3
दोनों पक्षों में 2 गुणा करें: x/2 × 2 = 3 × 2 → x = 6
📌 याद रखें
- हमेशा दोनों पक्षों पर समान संक्रिया करें।
- गुणा/भाग करते समय संख्या शून्य नहीं होनी चाहिए।
पक्षान्तर – किसी पद (संख्या या चर) को समीकरण के एक पक्ष से दूसरे पक्ष में चिह्न बदलकर ले जाना।
- + को दूसरी ओर ले जाने पर – हो जाता है।
- – को दूसरी ओर ले जाने पर + हो जाता है।
- × को दूसरी ओर ले जाने पर ÷ हो जाता है (और इसका विलोम)।
📌 उदाहरण 1: m − 6 = 12
−6 को दायीं ओर ले जाएँ → m = 12 + 6 → m = 18
📌 उदाहरण 2: P + 18 = 37
+18 को दायीं ओर ले जाएँ → P = 37 − 18 → P = 19
💡 पक्षान्तर विधि, संतुलन विधि का ही संक्षिप्त रूप है – यह तेज़ और सरल है।
दैनिक जीवन की समस्याओं को समीकरण के रूप में व्यक्त करके हल किया जाता है।
📌 उदाहरण 1: राम और श्याम की आयु
राम की आयु श्याम से 5 वर्ष अधिक है। यदि राम की आयु 28 वर्ष है, तो श्याम की आयु क्या है?
हल: माना श्याम की आयु = x वर्ष → x + 5 = 28 → x = 23 वर्ष
📌 उदाहरण 2: किसी संख्या में 5 जोड़ने पर 15
माना संख्या = x → x + 5 = 15 → x = 10
📌 उदाहरण 3: मोहिन्दर की आयु
माना मोहिन्दर की आयु = x वर्ष → 2x − 10 = 35 → 2x = 45 → x = 22.5
📌 चरण
- अज्ञात राशि को चर मानें।
- प्रश्नानुसार समीकरण बनाएँ।
- समीकरण हल करें।
- उत्तर की जाँच करें।
अभ्यास 11 (b) से महत्वपूर्ण प्रश्न:
- 📌 x सेमी लम्बाई के रेखाखंड में 17 सेमी जोड़ने पर कुल 25 सेमी होता है – समीकरण बनाएँ और हल करें।
- 📌 राम की आयु 28 वर्ष, श्याम से 5 वर्ष अधिक – श्याम की आयु = 23 वर्ष।
- 📌 किसी संख्या में 5 जोड़ने पर 15 → संख्या = 10।
- 📌 शिश ने कुछ पेंसिलें खरीदीं, 2 बहन को देकर 3 बचीं → कुल = 5 पेंसिलें।
- 📌 प्रज्ञा का वजन 3 किग्रा बढ़कर 17 किग्रा हो गया → पहले 14 किग्रा।
- 📌 y मीटर रस्सी को 7 बराबर भागों में बाँटा, प्रत्येक 3 मीटर → y = 21 मीटर।
- 📌 किसी संख्या का आधा, उसकी चौथाई से 10 अधिक → संख्या = 40।
उत्तर: (1) x=8, (2) 23 वर्ष, (3) 10, (4) 5, (5) 14 किग्रा, (6) 21 मी, (7) 40
🧩 मिलान अभ्यास – 25 Pairs
कॉलम A का कॉलम B से सही मिलान करें – हर पंक्ति में केवल 6 विकल्प दिखेंगे।
सही उत्तर चुनते ही ✅/❌ का निशान और गलत पर सही उत्तर दिख जाएगा।
🧠 Practice Quiz – रेखीय समीकरण
✅ एक बार उत्तर चुनने के बाद बदला नहीं जा सकता।